椭圆基础知识与练习

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1、椭圆一、知识精析与点拨（一）椭圆的定义1、第一定义：平面上，与两个定点F1、F2距离之和为常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹称为椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。2、第二定义：平面上到一个定点F（c，0）的距离与到一定直线L：x=的距离之比为常数e＝（0b>0)＋=1(a>b>0)一般方程Ax2＋Cy2=F(A、C、F同号)中心O（0，0）O（0，0）参数方程x=acosθy=bs

4、inθx=bcosθy=asinθ长轴长2a2a短轴长2b2b焦距2c2c离心率e=e=基本量的关系a2=b2＋c2，e=，=a2=b2＋c2，e=，=顶点（±a，0）（0，±b）（±b，0）（0，±a）焦点（±c，0）(0，±c)准线方程x=±y=±准线距焦准距p=p=M(x0，y0)的焦点半径r左=a＋ex0r右=a－ex0r下=a＋ex0r上=a－ex0通径长对称轴方程x=0，y=0x=0，y=0（三）椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）

5、PF1

6、+

7、PF2

8、=2a，

9、PM2

10、+

11、PM1

12、=，==e；（2）,；（3）

13、BF2

14、=

15、BF1

16、=a，

17、OF1

18、=

19、OF2

20、=

21、c；（4）

22、F1K1

23、=

24、F2K2

25、=p=，（四）点、直线与椭圆的位置关系1、点P（x0，y0）和椭圆＋=1（a>b>0）的关系（1）点P在椭圆内（含焦点）＋<1；（2）点P在椭圆上＋=1；（3）点P在椭圆外＋>1（其中a>b>0）2、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有：（1）△>0直线与椭圆相交于两点；①设AB为椭圆＋=1的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点M（x0，y0），则弦长

26、AB

27、==

28、x2－x1

29、

30、·=

31、y2－y1

32、·(kAB≠0)；(其中kAB==－；

33、x2－x1

34、=;

35、y2－y1

36、=)直线AB的方程为y－y0=－(x－x0)；线段AB的垂直平分线方程为y－y0=(x－x0)；②焦点弦：AB为椭圆＋=1的焦点弦的长

37、AB

38、左=e（x1＋x2）＋2a（或

39、AB

40、右=2a－e（x1＋x2），通径长为（其中a>b>0）（2）△=0直线与椭圆相切；①设M（x0，y0）为椭圆＋=1上的点，则以M为切点的切线方程为＋=1；②设M（x0，y0）为椭圆＋=1外的点，则过M引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为＋=1（其中a>b>0）③椭圆与直线相切的条件是。④设切线的斜率为K，则椭圆的

41、切线方程为（3）△<0直线与椭圆相离；直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点3、焦点三角形：椭圆上的点M（x0，y0）与两焦点构成的△MF1F2称为焦点三角形，∠F1MF2=θ①cosθ=－1,当r1=r2时即当M点在椭圆的短轴的端点时θ取得最大值，其余弦值为cosθ=；②=sinθ(其中、为点M到椭圆左右焦点的焦半径)或=·或=tan或=c

42、y0

43、,当r1=r2时即当点M在椭圆的短轴的端点时取得最大值为bc椭圆练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．下列命题是真命题的是（）A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B

44、．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆C．到定点F(－c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段5．椭圆和具有（）A．相同的离心率B

45、．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是A．B．C．D．8．椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3B．C．D．9．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使

46、MP

47、+2

48、MF

49、的值最小，则这一最小值是（）A．B．C．3D．410．过点M（－2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线