主成分分析-主成分分析在经济指标综合评价中的应用

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1、主成分分析-主成分分析在经济指标综合评价中的应用.5ucom4>>中国最丰富的资料库下载第三章主成分分析第一节主成分的基本原理第二节主成分的数学原理第三节主成分分析在经济指标综合评价中的应用第四节主成分回归分析推荐阅读.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载主成分概念首先由KarlParson在1901年引进，当时只对非随机变量来讨论的。1933年Hotelling将这个概念推广到随机变量。在多数实际问题中，不同指标之间是有一定相关性。由于指标较多及指标间有一定的相关性，势必增加分析问题的复杂性。主成分分析就是设法将原来指标重新组

2、合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标。同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息。.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载主成分分析是考察多个数值变量间相关性的一种多元统计方法，它是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差—协方差结构。导出几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间不相关。.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载一、主成分分析的基本思想将原来众多具有一定相关性的指标重新组合成一组新的相互无

3、关的综合指标来代替原来指标。以两个指标为例，信息总量以总方差表示：.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载其中y1、y2分别都是x1、x2的线性组合，并且信息尽可能地集中在y1上。在以后的分析中舍去y2，只用主成分y1来分析问题，起到了降维的作用。主成分分析就是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的线性组合，并寻求主成分来分析事物的一种方法。.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载二、几何解释x1x2y1y2.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载旋转变换的目的是为

4、了使得n个样本点在y1轴方向上的离散程度最大，即y1的方差最大，变量y1代表了原始数据的绝大部分信息，在研究某经济问题时，即使不考虑变量y2也损失不多的信息。Y1与y2除起了浓缩作用外，还具有不相关性。Y1称为第一主成分，y2称为第二主成分。.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载推广开来，对于p维总体，寻求正交变换，使得在所有正交变换中，所选正交矩阵U，使最大；与不相关；并且在所有与不相关的变量中最大；与、不相关，同时在所有与、不相关的变量中最大；依次类推。为的主成分总体，为第一主成分，为第二主成分。。。.5ucom>中国最丰富

5、的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载第二节主成分分析的数学原理对原有变量作坐标变换，要求：.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载如果z1=u1’x满足①②则称z1为x的第一主成分。若z1不足以代表原变量所包含的信息，就考虑采用z2。Z2满足①②③Z2为第二主成分.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载一、主成分总体存在的必要条件对于P维总体，其主成分总体存在的必要条件是，相应正交矩阵U满足条件其中.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载证明：.5ucom

6、>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载从公式的计算推导可以发现，主成分方程中的系数向量U恰好是原有变量协方差矩阵的特征向量，其特征根是主成分的方差。.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载二、主成分总体存在的充分条件只要证明其他任意存在的一个正交矩阵L，使得中，由L矩阵所产生的主成分方差永远都比相应的U矩阵产生的方差小.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载三、量纲对于主成分分析的影响及消除方法对数据进行标

7、准化处理，以使每一个变量的均值为0，方差为1。.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载数据标准化后,总体的协方差矩阵与总体的相关系数相等..5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载四、样本主成分变量X样本协方差为总体协方差的无偏估计相关矩阵R为总体相关矩阵的估计.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰富的资料库下载若X已标准化，则可用相关矩阵代替协方差矩阵.5ucom>中国最丰富的资料库下载.5ucom>中国最丰

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