用分离变量法解常微分方程

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1、用分离变量法解常微分方程.１直接可分离变量的微分方程1.1形如=(1.1)的方程，称为变量分离方程，这里，分别是的连续函数.如果(y)≠0，我们可将（1.1）改写成=,这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到　　　　　通解：=+c.　　　　　　　　(1.2)其中，c表示该常数，，分别理解为，的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使的是方程(1.1)的解.例1求解方程的通解.解：(1)变形且分离变量：(2)两边积分：，得.第13页共13页可以验证也是原方程的解，若视和是平等的，则也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决

2、中学常见的一些几何问题.例2曲线上的点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.求曲线的方程.分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线的方程，用大写的表示法线上的动点，用小写的表示曲线上的点，为过点的法线的斜率.解：由题意得.从而法线的方程为.又被轴平分，与轴交点的坐标为，代入上式，得.整理后，得，图1分离变量，解得，其中c为任意正数，如图1.２变量可替换的微分方程第13页共13页通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:2.1齐次方程形如(1.3)的微分方

3、程，称为齐次微分方程.这里是的连续函数.对方程(1.3)做变量变换，(1.4)即，于是.(1.5)将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为，整理后，得到.(1.6)方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.例3求微分方程的通解.解：原方程化为，即，第13页共13页于是，令，即，将代入该方程，得，整理，即有，分离变量，得，两边积分，得，将代回来，得，，即，其中为任意常数.另,即也是原方程的解，但此解课包含于通解之中.故,方程的通解为.2.2形如(1.7)的

4、方程，这里均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：第13页共13页2.2.1的情形.这时方程化为有通解，其中.2.2.2的情形.令，这时有是变量分离方程.2.2.3的情形.如果方程中不全为零，方程右端分子、分母都是的一次多项式，因此，.（1.8）代表平面上两条相交直线，设交点.若令，.则（2.2）化为，.第13页共13页从而（2.1）变为.(1.9)因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中可不必求解（2.2），直接取变换即可.上述解题的方法也适用于比方

5、程（2.1）更一般的方程类型.例4求解方程（2.0）解：解方程组,,得.于是，令,,代入方程（2.4），则有.再令,即，则化为，两边积分，得，因此，第13页共13页代回原变量，得，即.因此，方程（2.3）的通解为，其中，为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.凑微分当方程满足：（2.2）时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将代入方程中，有即展开，得（2.3）第13页共13页有条件（2.6）可知，（2.4）将（2

6、.8）代入（2.7）中，得.很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为，其中为任意常数.例5求解方程.解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令.则所以，原方程可化为.这是一个分离变量方程.整理可得.将代入，可得即，通解为.其中c为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.解法二：原方程变形为.整理得.所以第13页共13页.两边积分，得原方程的通解为=C，其中C为任意常数.以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.2.3形如的方程也可

7、以经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.做变量变换，这时有，即.是变量分离方程.而当时，为其特殊形式.例7求解方程.解：因为，(2.5)可以化为.于是，令.(2.6)则第13页共13页,(2.7)将(2.9)代入(2.11)可以知道，这是一个分离变量方程.即.两边同时积分，得.(2.8)再将(2.10)代入(2.12)，得.所以整理得，，其中C为任意常数.2.4其他几种变量能分离的方程类型2.4.1形如,(2.9)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2.13)变形为(3.0)做变量替换.这时有，(3.1)将(2.

8、15)代入(2.14)中，得第13页共13页.是变量分离方程.2.4.2形如，(3.2)的方程是变量分离方程.做变量替换，则，(3.3)代入原方程，得.是变量分离方程.2.4.3形如，(3.4)的方程是变量分离方程.做变量替换，则，有，(3.5)将(2.19)代