线性代数重要结论大全

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1、线性代数必考知识点1、行列式1.行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;2.代数余子式的性质:①、和的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;3.代数余子式和余子式的关系:4.设行列式:将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;将主副角线翻转后,所得行列式为,则;5.行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积;③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;④、

2、和:副对角元素的乘积;⑤、拉普拉斯展开式:、⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6.对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;7.证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.是阶可逆矩阵:(是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为0;是正定矩阵;6的行(列)向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;1.对于阶矩阵:无条件恒成立;2.3.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,

3、可求代数和;4.关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:若,则:Ⅰ、;Ⅱ、;②、;(主对角分块)③、;(副对角分块)④、;(拉普拉斯)⑤、;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、,若;2.行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若,则可逆,且;②、对矩阵做初等行变化

4、,当变为时,就变成,即:;③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;6③、对调两行或两列,符号,且,例如:;④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;1.矩阵秩的基本性质:①、;②、;③、若,则;④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、;(※)⑥、;(※)⑦、;(※)⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);Ⅱ

5、、⑨、若、均为阶方阵,则;2.三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:;注:Ⅰ、展开后有项;Ⅱ、Ⅲ、组合的性质:;③、利用特征值和相似对角化:3.伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:;②、伴随矩阵的特征值:;③、、4.关于矩阵秩的描述:①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)②、,中有阶子式全部为0;6③、,中有阶子式不为0;1.线性方程组:,其中为矩阵,则:①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;2.线性方程组的求解:

6、①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解;③、特解:自由变量赋初值后求得;3.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:①、;②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)③、(全部按列分块,其中);④、(线性表出)⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)③、向量组的相互线性表示是否有解;(矩

7、阵方程)3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)4.;(例15)5.维向量线性相关的几何意义:①、线性相关;②、线性相关坐标成比例或共线(平行);③、线性相关共面;6.线性相关与无关的两套定理:若线性相关,则必线性相关;若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7.向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线

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