线性代数重要结论

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1、线性代数必考知识点1、行列式1.2nn行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式；2.代数余子式的性质：①、Aij和aij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：ij+ij+M=−(1)AA=−(1)Mijijijij4.设n行列式D：nn(−1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为2D1，则D=−(1)D；1nn(−1)将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D2，则D=−(1)D；2将D主对角线翻转后

2、（转置），所得行列式为D3，则D3=D；将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4=D；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；nn(−1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积×−(1)2；③、上、下三角行列式（=◥◣）：主对角元素的乘积；nn(−1)④、◤和◢：副对角元素的乘积×−(1)2；AOACCAOA⑤、拉普拉斯展开式：mng==AB、==−(1)ABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；n6.对于nknk−n阶行列式A，恒有：λE−A=λ+∑(1)−Skλ，其中Sk为k阶主子

3、式；k=17.证明A=0的方法：①、A=−A；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解；④、利用秩，证明rA()

4、成立；3.−1**−1−1TT−1*TT*(A)=(A)(A)=(A)(A)=(A)TTT***−1−1−1(AB)=BA(AB)=BA(AB)=BA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：⎛A1⎞⎜⎟A若A=⎜2⎟，则：⎜O⎟⎜⎟A⎝s⎠Ⅰ、A=AA12LAs；−1⎛A⎞1⎜−1⎟AⅡ、−1⎜2⎟A=；⎜O⎟⎜⎟⎜−1⎟A⎝s⎠AO−1A−1O⎛⎞⎛⎞②、⎜⎟=⎜⎟；（主对角分块）−1⎝OB⎠⎝OB⎠OA−1OB−1⎛⎞⎛⎞③、⎜⎟=⎜⎟；（副对角分块）−1⎝B

5、O⎠⎝AO⎠−1−1−1−1⎛AC⎞⎛A−ACB⎞④、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉斯）−1⎝OB⎠⎝OB⎠AO−1A−1O⎛⎞⎛⎞⑤、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉斯）−1−1−1⎝CB⎠⎝−BCAB⎠23、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn×矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：⎛ErO⎞；F=⎜⎟⎝OO⎠mn×等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若rA()=rB()⇔A:B；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每

6、行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r1、若−1(,AE):(EX,)，则A可逆，且X=A；②、对矩阵−1(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：c−1(,)(,AB∼EAB)；r③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(,)(,)Ab:Ex，则−1A可逆，且x=Ab；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1⎞⎜⎟λ②、Λ=⎜2⎟，左乘矩阵A，λi乘A的各行元

7、素；右乘，λi乘A的各⎜O⎟⎜⎟λ⎝n⎠列元素；−1⎛1⎞⎛1⎞③、对调两行或两列，符号−1⎜⎟⎜⎟Eij(,)，且Eij(,)=Eij(,)，例如：1=1；⎜⎟⎜⎟⎜⎝1⎟⎠⎜⎝1⎟⎠④、倍乘某行或某列，符号−11Eik(())，且Eik(())=Ei(())，例如：k−1⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜1⎟；k=(k≠0)⎜⎜⎟⎟⎜k⎟⎝1⎠⎜1⎟⎝⎠⑤、倍加某行或某列，符号−1Eijk(()),且Eijk(())=Eij((−k))，如：3−1⎛1k⎞⎛1−k⎞⎜⎟⎜⎟1=1(k≠0)；⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝1⎠5.矩阵秩的基本性质：①

8、、0≤rA(mn×)≤min(,)mn；②、TrA()=rA()；③、若A:B，则rA()=rB()；④、若P、Q可逆，则rA()=rPA()=rAQ()=rPAQ()；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())