线性方程组的迭代求解法

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1、线性方程组的迭代求解法一、题目用雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法、逐次超松弛迭代法求解4元线性方程组（*）的近似解。（*）二、方法雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法、逐次超松弛迭代法三、程序Jacobi.M（雅可比迭代法的程序）function[x,k,flag]=jacobi(A,b,delta,max1)ifnargin<4max1=100;endifnargin<3delta=1e-4;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);flag='ok';w

2、hile1fori=1:ny(i)=b(i);forj=1:nifj~=iy(i)=y(i)-A(i,j)*x(j);endendifabs(A(i,i))<1e-10

3、k==max1flag='fail';return;endy(i)=y(i)/A(i,i);endifnorm(y-x,inf)

4、endifnargin<3delta=1e-4;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);flag='ok';while1y=x;fori=1:nz=b(i);forj=1:nifj~=iz=z-A(i,j)*x(j);endendifabs(A(i,i))<1e-10

5、k==max1flag='fail';return;endz=z/A(i,i);x(i)=z;endifnorm(y-x,inf)

6、M（逐次超松弛迭代法的程序）function[x,k,flag]=sor(A,b,delta,w,max1)ifnargin<5max1=100;endifnargin<4w=1;endifnargin<3delta=1e-4;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);flag='ok';while1y=x;fori=1:nz=b(i);forj=1:nifj~=iz=z-A(i,j)*x(j);endendifabs(A(i,i))<1e-10

7、k==

8、max1flag='fail';return;endz=z/A(i,i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*z;endifnorm(y-x,inf)>formatcompact>>A=[2-100;-12-10;0-12-1;00-12]A=2-100-12-100-12-100-12>>b=[1010]'b=1010>>[x,k,flag]=jacobi(A,b)x=1.19991.39971.59980.7998k=41flag=ok>>

9、[x,k,flag]=gao(A,b)x=1.19991.39981.59990.7999k=21flag=ok>>[x,k,flag]=sor(A,b)x=1.19991.39981.59990.7999k=21flag=ok>>[x,k,flag]=sor(A,b,1e-4,1.2)x=1.20001.40001.60000.8000k=13flag=ok>>[x,k,flag]=sor(A,b,1e-4,1.3)x=1.20001.40001.60000.8000k=10flag=ok>>[x,

10、k,flag]=sor(A,b,1e-4,1.4)x=1.20001.40001.60000.8000k=11flag=ok雅可比迭代法的迭代次数为41次，求解的结果为x=[1.19991.39971.59980.7998]’高斯-塞德尔迭代法的迭代次数为21次，求解的结果为x=[1.19991.39981.59990.7999]’逐次超松弛迭代法的迭代次数最少为10次，取值为1.3，求解的结果为x=[1.20001.40001.60000.8000]’，取值为1时，结果与高斯-塞德尔迭代法一样。一、

11、拓展1、分析：（1）上述线性方程组的矩阵是弱对角占优阵且是不可约矩阵，可知雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法均收敛，而矩阵也是对称正定阵，且取值也在0至2之间，则逐次超松弛迭代法也收敛。（2）在SOR迭代法中，若，则此法即为高斯-塞德尔迭代法，在上述结果中可看出取默认值1时结果与高斯-塞德尔迭代法相同。（3）取不同的松弛因子迭代次数不一样，此题取为1.3时迭代次数最少，即为最佳松弛因子。由此，松弛因子选得好，可以大大的加速收敛。2、迭代收敛速度>>D=[2