线性方程组的迭代解法

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1、第5章线性方程组的迭代解法本章主要内容1.向量和矩阵范数的概念及其性质.谱半径、条件数和线性方程组的性态2.雅可比迭代法，3.高斯-塞德尔迭代法.4.收敛性的判定.重点、难点一、向量的范数和性质1.向量的范数和性质n维向量X的范数是一个非负实数。常用的三种向量的范数为：向量范数的性质：(1)向量的范数满足的不等式：（2）任意两个向量的范数等价即若是向量X的两个范数，则存在正常数m，M.使得对任意非零向量X，恒有3.向量序列的收敛（1）若是任一向量序列，，对i=1,…,n都有则称向量为向量序列的极限，或称向量序列依坐标收敛于向量X*，记作9（2）向量序列依坐标收敛于向量X*充要条件是向量

2、序列是依范数收敛于向量X*，即例1已知向量X=（2，-3，4），求向量X和矩阵A的三种常用范数。【思路】利用向量范数的定义求解。解例2证明向量X的范数满足不等式（1）；（2）【思路】根据向量范数的定义及不等式的性质证明解（1）设xj是向量X的分量，则，所以由向量范数的概念可知，结论成立。（2）二、矩阵的范数和性质1.若A是n阶方阵,是一种向量范数，则实数称为A的导出矩阵范数。2.性质：矩阵范数具有下列基本性质：9（1），仅当A=0时，有，（2）对任意数λ，有，（3）（4）（5）对任意向量X，有三种常用矩阵范数为：例3已知矩阵，求它的三种常用范数。【思路】利用向量范数的定义求解。解三、谱

3、半径和线性方程组的性态1.谱半径定义若λi(i=1,2,…,n)矩阵A的特征值，则实数称为A的谱半径。性质：（1）若A为n阶矩阵，为A的任一范数，则有9（2）对任给ε>0，则存在范，使得说明：可以用谱半径讨论迭代法的收敛性问题。2线性方程组的性态（1）假设系数矩阵A是精确的，且非奇异，则右端向量b的误差对解的影响设是的误差，而是的误差，则有所以当时，则有（2）假设右端向量b是精确的，则系数矩阵A的误差对解的影响设是的误差，而是的误差，则有（3）方阵的条件数定义5.5若A是n阶非奇异矩阵,则称数为矩阵A的条件数。记作容易证明，条件数具有下列性质⑴cond(A)≥1⑵cond(kA)=co

4、nd(A),k为非0常数由此可见，系数矩阵的条件数确实能反映线性方程组的解对于初始数据误差的敏感程度。（1）当cond(A)很大时，则系数矩阵A的微小相对误差或右端向量的微小相对误差，可能使解产生相当大的相对误差，则称方程组是病态的。（2）当cond(A)较小时，则系数矩阵A的微小相对误差或右端向量的微小相对误差，不会使解产生大的相对误差，则称方程组是良态的。9四、雅可比迭代法线性方程组Ax=b的系数矩阵A为非奇异矩阵，且A的所有对角元akk≠0(k=1,2,…,n),则由克莱姆法则知，线性方程组存在唯一的解X*，利用雅可比迭代法公式对线性方程组进行迭代计算，可求得线性方程组的近似解。

5、雅可比迭代法公式：1.方程组形式：2.矩阵形式：将系数矩阵A分裂为A=D-（L+U），其中-L，-U，D分别为矩阵A的严格下三角部分，严格上三角部分和对角部分，即：,雅可比迭代法矩阵形式为：9其中雅可比迭代矩阵例4用雅可比迭代法求解线性方程组【思路】先将方程组同解变形，然后建立雅可比迭代方程组和高斯-塞德尔迭代方程组，并选择初始值，再利用雅可比迭代公式和高斯-塞德尔迭代公式迭代计算。解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为选取初始值迭代计算，列表如下：9n00.000000.000000.0000010.720000.830000.8400020.971001.070001.1500031

6、.057001.157101.2482041.085351.185341.2828251.095101.195101.2941461.098341.198341.2950471.099441.199811.2993481.099811.99911.2997891.099941.199941.29992取方程组的近似值为比较两种解法，一般地，高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法好，但也有高斯-塞德尔迭代比雅可比迭代收敛慢，甚至雅可比迭代法收敛而高斯-塞德尔迭代法不收敛。五、高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法公式：1.方程组形式：2.矩阵形式：9其中高斯-塞德尔迭代矩阵例5用高斯—塞德尔法解

7、方程组（1）证明高斯—塞德尔法收敛；（2）写出高斯—塞德尔法迭代公式；取初始值，求出。解（1）因为为严格对角占优矩阵，所以高斯-塞德尔迭代法收敛。（2）高斯-塞德尔法迭代公式为：      （3）取初值，计算得六严格对角占优矩阵设A=（aij）为n阶方阵，若满足，则称A为对角占优矩阵；若上式中不等号严格成立，则称A为严格对角占优矩阵。七收敛性的判断方法1.若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法收敛，且有误差估计式2.