复化求积公式的算法及其应用

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1、摘要在数值计算中，低阶牛顿柯特斯求积方法存在很多缺陷，从余项公式可以看出其要求提高求积公式的代数精度，必须增加结点个数，会导致插值多项式出现龙格现象，且数值稳定性不能保证.基于以上原因，我们往往采用复化求积方法，此方法不仅可以克服以上缺点而且便于在计算机上实现，值得研究和学习.在本课程设计中，我们首先从复化求积公式的思想引入，然后详细介绍复化梯形求积公式、复化辛普森求积公式和复化柯特斯求积公式的推导过程和相关性质，再对三种求积公式进行比较和总结，其次画出三种求积公式的流程图，最后通过求解例题写出三种求积算法的程序设计.关键词复化求积算法;流程图;程序设

2、计目录引言1第一章复化求积算法2§1.1复化求积公式2§1.1复化求积公式的思想3§1.2复化求积公式的构造3§1.2复化梯形求积公式3§1.2.1复化梯形求积公式的推导过程3§1.2.2复化梯形求积公式的性质3§1.3复化辛普森求积公式4§1.3.1复化辛普森求积公式的推导过程4§1.3.2复化辛普森求积公式的性质4§1.4复化柯特斯求积公式5§1.4.1复化柯特斯求积公式的推导过程5§1.4.2复化柯特斯求积公式的性质5§1.5三种复化求积公式的比较及总结6第二章复化求积公式算法的流程图及其应用9§2.1流程图9§2.2应用12参考文献15附录A1

3、6附录B17附录C18引言积分计算在分析数学领域里是个古老的问题，在数值分析中已被广泛应用.但在计算机上却不能像在分析数学中那样，用原函数[满足的函数就是函数的原函数]计算积分.这是因为在实际问题中，函数关系往往是用列表数据或曲线给出的.即使知道了函数的表达式，求其一个原函数并非一个简单问题.许多函数难以用初等函数表示（如等）.在计算机上，通常利用函数的若干个离散值，以代数运算近似计算积分值，这类近似计算法称为数值积分法.设给定区间上的函数.需要建立计算积分的近似方法.数值积分的基本思想是试图用一个简单又易于积分的函数逼近，以计算积分.显然插值多项式是

4、一个很好的选择，因为插值多项式可由的若干值构造出来，其积分很容易计算.为此，需将分为n等分，其中.分割步长，因此对应的函数值.显然可以表示为所有小区间上各函数的积分的和，即其中通常把为每个建立的计算公式简称为求积公式，而把建立的求积公式称为复化求积公式.由于在实际计算时，不宜使用高阶的牛顿——柯特斯公式，但若积分区间较大，单独用一个低阶的牛顿——柯特斯公式来计算积分的近似值，显然精度不好，为了提高数值求积的精确度，可利用积分对区间的可加性来解决这个问题，这就是通常采用的复合求积法.而且使用这种方法之后，求积公式的收敛性和稳定性也得到了改善.18第一章复

5、化求积算法牛顿—柯特斯公式的求积余项表明，求积节点越大，对应的求积公式精度越高，但由于牛顿—柯特斯公式在时数值不稳定，因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度.实用中常将求积区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的牛顿—柯特斯公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加来作为原定积分的近似值.采用这种方法构造的求积公式就称为复合求积公式.复合求积公式具有计算简单且可以任意逼近所求定积分值的特点，这是牛顿—柯特斯公式一般做不到的.常用的复合求积公式有复合梯形求积公式和复合辛普森求积公式以及复合柯特斯求积公式.以下我们将从三种

6、复化求积算法的构造、余项、稳定性、收敛性等几方面进行讨论，并写出相应的流程图以及应用中所涉及到的算法的程序设计.§1.1复化求积公式§1.1.1复化求积公式的思想很大时，牛顿——柯特斯求积公式出现了不稳定、不收敛现象，往往使用低阶牛顿——柯特斯求积公式，误差比较大，故将若干等分，在每个子区间上反复使用低阶牛顿——柯特斯公式，进行累加.而构造出来的新的求积公式，称之为复化求积公式.在构造求积公式的过程中，我们将求积区间进行等距细分：，在每个小区间上用相同的“基本”求积公式(如梯形公式；中矩形公式；左(右)矩形公式或辛普森公式)计算出的近似值.§1.1.2

7、复化求积公式的的构造将定积分的区间划分为等分，各节点为，，，在子区间上使用牛顿——柯特公式，将分割为等份，步长为，节点为18记为在上作的阶牛顿——柯特斯求积公式.由积分区间的可加性，可得§1.2复化梯形求积公式§1.2.1复化梯形求积公式的的推导过程将积分区间划分等分，步长，求积节点，在每个小区间上应用梯形公式然后将它们累加求和，作为所求积分I的近似值.记18式为复化梯形求积公式，下标表示将区间等分，若把区间等分，在每个小区间上仍用梯形求积公式，则可得到和间的关系为：其中§1.2.2复化梯形求积公式的性质性质1.1复化梯形求积公式余项当在上有连续的二阶

8、导数，则复化梯形公式的余项：性质1.2稳定性若，则有估计式复化梯形求积公式的系数均大于零，且满