§3.1一维无限深势阱

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1、§3.1一维无限深势阱  重点：        势阱的意义，薛定谔方程的求解，阱内能量及波函数的特征设质量为μ的粒子，局限在范围内作一维运动。在些范围内粒子势能为零，以此范围外，势能为无穷大。即（3.1-1）（3.1-2）               而在阱内部，由于满足定态薛方程，即（3.1-3）或写作（3.1-4） 其中（3.1-5）常系数二阶微分方程（3.1-4）的通解为（3.1-6）为待定常数，合并（3.1-2）,（3.1-6）式得（3.1-7）由于波涵数在势阱边界上发须为连续的条件，所以在和

2、处，必须为零，即，（3.1-8）（3.1-9）这就是解方程（3.1-4）时需要用到的边界条件。由（3.1-8）式，则式（3.1-6）为不能为零，否则到处为零，这在物理上是没有意义的，所以必须这样就有（3.1-10）再利用条件（3.1-9）得因而必须满足下面条件（3.1-11）（给出被函数无物理意义，而取负数时给不出新的波函数）。将（3.1-11）式代入（3.1-5）式得到体系的能量（3.1-12）由此可见，粒子束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立的数值，即它的能量是量子化的。将（3.1-11）式代入（

3、3.1-10）式，并重写（3.1-7）式，我们就得到能量为的粒子有波函数（3.1-13）应用归一化条件（3.1-14）可求得这样，最后得到能量为的粒子的归一化波函数为（3.1-15）一维无限深势阱中粒子的定态波函数是（3.1-16）利用公式我们可以把定态波函数写成（3.1-17）上式与弦振动的驻波函数形式相同。由此可见定态波函数是由两个沿相反方向传播的平面波迭加而成的驻波。下面讨论几个问题，并与宏观粒子作比较。（1）束缚态和基态在时，波函数，粒子被束缚于阱内，故通常把无穷远处为零的波函数所描写的状态称

4、为束缚状态，一般来说，束缚态的能级是分立的。体系最低能量的态称为基态，在一维无限深势阱中的基态是的基本征态。这与经典理论结果完全不同，经典理论认为粒子最低能量必须为零。（2）势阱内粒子能量量子化势阱内粒子能量的量子化，是由于边界条件应用于波函数后所导致的结果，与两端固定的弦受边界条件影响而限制了它的频率的情况完全相似。相邻两能级的间隔（当较大时）（3.1-18）由此可见愈大，能级间隔愈大，能级分布是不均匀的。当即当很大时，能级可视为连续的。此外，由于是很小的常数，因此只有当同有相近的数量级时，能量量子

5、化才显示出来，如果是宏观物体的质量，也是宏观的距离，则能级的间隔就非常小，因而几乎可以认为能级是连续的。以电子为例，其质量千克，在米的势阱中运动，由（3.1-12）（3.1-18）式可分别算出电子伏特电子伏特这是完全可观测的，这时电子能量量子化明显表现出来。但是，如果电子在厘米这样一个宏观尺度中运动，则电子伏特能量间隔非常小，因而几乎可以认为能量是连续的了。（3）粒子在阱中各处出现的几率下图画出了...时的本征函数粒子出现的几率密度的分布图形。由图可以看出，在基态时，在阱的中部附近找到粒子的机率最大，

6、而在阱壁上找到粒子的几率为零。当粒子处于激发态时，在势阱中找到粒子的几率分布有起伏，愈大，起伏资数愈多，这现象和对一个经典粒子所期望的迥然不同。                                                                        一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和几率密度