机械优化设计 自编习题及参考答案 201209-zhl

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1、优化设计自编习题参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量使且满足约束条件利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足和的设计点集合为R，即R为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求使符号“”表示“从属于”。在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化或目标函数极大化。由于求的极大化与求的极小化等价，所以今后优化问题的数

2、学表达一律采用目标函数极小化形式。1-2.简述优化设计问题的基本解法。（不要抄书，要归纳）答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过

3、少量试验（探索性的计算），并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。其中具体方法较多，并且目前还在发展。但是，应当指出，对于复杂问题，由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来，只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似，那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。不管是解析解法，还是数值解法，都分别

4、具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数（即只要计算函数值而不需计算其导数）的方法。2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x1,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式令并称它为函数f（x1，x2）在x0点处的梯度。假设为D方向上的单位向量，则有即函数f（x1，x2）在x0点处沿某一方向d的方向导数等于函数在该点处的梯度与d方向单位向量的内积。梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是

5、函数变化率的最大值。梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函数在处函数变化率最大的方向和数值。解；由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模。求f（x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：=2-3.试求目标函数在点X0=[1,0]T处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导数则函

6、数在X0=[1,0]T处的最速下降方向是这个方向上的单位向量是：新点是新点的目标函数值2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式：称f（x）是定义在图集上的一个凸函数。对于约束优化问题若都是凸函数，则称此问题为凸规划。3-1.简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）答：搜索区间（a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索

7、区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（a，b）内任取两点a1，b1，a1《b1，并计算函数值f（a1），f（b1）。将有下列三种可能情形；1）f（a1）《f（b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a，b1）内2）f（a1）》f（b1），同理，极小点应在区间（a1，b）内3）f（a1）=f（b1），这是极小点应在（a1，b1）内3-2.简述黄金分割法中0.618的来由，搜索过程及程序框图。黄金分割法适用于区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法

8、的适应面相当广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间内适当插入两点、，并计算其函数值。、将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。黄金分割法要求插入点、的位置相对于区间两端点具有对称