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1、初等数论期末练习题一、单项选择题2、如果，则=（）.ABCD3、小于30的素数的个数（）.A10B9C8D74、如果,是任意整数,则ABCTD5、不定方程（）.A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或98、公因数是最大公因数的（）.A因数B倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A4个B5个C2个D3个11、因为(),所以不定方程没有解.A[12，15]不整除7B（12，15）不整除7C7不整除（12，15）D7不整除[12，15]二、填空题1、有理数，，能写成循环小数的条件是（）.2
2、、同余式有解，而且解的个数为().3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为().4、设是一正整数，Euler函数表示所有()，而且与（）的正整数的个数.5、设整数，则（）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、（）.8、同余式有解,而且解的个数().9、在176与545之间有()是17的倍数.10、如果,则=().11、的最小公倍数是它们公倍数的().12、如果,那么=().三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程.（8分）3、求,其中563是素数.（8分）4、解同余式.（8分）5、
3、求[525,231]=?6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分）2、证明当是奇数时，有.（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.《初等数论》期末练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B8、A9、A11、B二、填空题1、
4、有理数，，能写成循环小数的条件是（）.2、同余式有解，而且解的个数为(3).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为(41).4、设是一正整数，Euler函数表示所有(不大于)，而且与（互素）的正整数的个数.5、设整数，则（）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.7、（）.8、同余式有解,而且解的个数(3).9、在176与545之间有(12)是17的倍数.10、如果,则=().11、的最小公倍数是它们公倍数的(因数).12、如果,那么=(1).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（2
5、4871,3468）=17所以[24871,3468]==5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。2、求解不定方程.（8分）解：因为（107，37）=1，所以有解；考虑，有，所以，原方程特解为=225，=-650，所以通解为3、求,其中563是素数.（8分）解把看成Jacobi符号,我们有,即429是563的平方剩余.4、解同余式.（8分）解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程.我们再解不定方程,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的.因此同余式的3个解为,,.5、求[52
6、5,231]=?解：解：因为（525,231）=21所以[525,231]==57756、求解不定方程.解：因为（6，11），所以有解；考虑，有。所以，特解为，通解为。7、判断同余式是否有解？（8分）解我们容易知道1847是素数,所以只需求的值.如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.因为,所以.再,所以,所以,=1.于是所给的同余式有解.8、求11的平方剩余与平方非剩余.解因为,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.又因为,,,,,所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余.四、证明
7、题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分）证明因为,=,所以,-=而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.2、证明当是奇数时，有.（10分）证明因为,所以.于是,当是奇数时,我们可以令.从而有,即.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）证明（1）设,则显然.（2）如果,那么==.4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)证明设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,.因为100(mod5
8、),所以我们得到所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.证明首先证明
