初等数论 期末复习

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1、题目：一、求同余式的解：二、求高次同余式的解：。三、求高次同余式的解:(mod13).四、计算下列勒让德符号的值:,五、计算下列勒让德符号的值：，六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。求兵数。七、设是两个正整数，证明:的最大公因子,其中是形如(是任意整数)的整数里的最小正数.八、证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为（a>0是整数，p为素数）的形式。九、证明:若方程(是整数,)有有理数解,则此解必为整数.十、证明:若，则十一、证明：设，c无平方因子，，证明

2、：。十二、设是奇素数,,证明:(mod).十三、设m>1，模m有原根，d是的任一个正因数，证明：在模m的缩系中，恰有个指数为d的整数，并由此推出模m的缩系中恰有个原根。十四、设是模的一个原根，证明：若通过模的最小非负完全剩余系,则通过模的一个缩系。第一题：求同余式的解：解答：同余式有三个解即又因此同余式的解为。第二题：求高次同余式的解：解答：解：因同余方程的解为同余方程的解为同余方程的解为故原同余方程有4解。作同余方程组：，，,其中由孙子定理得原同余方程的解为。第三题：求高次同余式的解：解答：010；118；228；340；454；570；688；

3、7108；8130；9154；10180；11208=13x6；12238；因此，。第四题：计算下列勒让德符号的值:,解答：第五题：计算下列勒让德符号的值：，解答：==*===第六题：韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。求兵数。解答：，，，，，，，，兵数=2111+2310m，m是任何一个非负整数。第七题：如a，b是两个正整数，则，其中是形如（x，y是任意整数）的整数里的最小正数。证：，其中若，等于是与题意是最小正数矛盾，所以即同理可证，于是，因此。又，。所以第八

4、题：证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为（a>0是整数，p为素数）的形式。证：存在无穷多个正整数k，使得是合数，对于这样的k，不能表示为的形式，事实上，若(k+1)2=a2+p，则(k+1-a)(k+1+a)=p，得k+1-a=1，k+1+a=p，即此与p为素数矛盾。第九题：证明:若方程(是整数,)有有理数解,则此解必为整数解答：证：设有理根，（p，q）=1，代入，得到所以，但（p，q）=1，从而q因此该有理根必为整数。第十题：证明:若，则。证：（a，b）=1于是，因此第十一题：证明：设，c无平方因子，，证明：。证：设，则，，(a1,b1)

5、=1，由得a12½b12c，a12½c，因为c无平方因子，所以a1=1，a=d，b=ab1，即。第十二题：设是奇素数,,证明:(mod).证：如果n是模数p的二次剩余，则有解，，于是又，推出因为p是奇素数，所以和只有一个成立。我们已经证明了，如果n是模数p的二次剩余，则成立，故1，，，是的个解，而且是它的全部解。于是模数p的缩系中个二次非剩余给出了的全部解。这样就证明了n是模数p的二次非剩余则成立因此第十三题：设m>1，模m有原根g，d是的任一个正因数，证明：在模m的缩系中，恰有个指数为d的整数，并由此推出模m的缩系中恰有个原根。证：设模m有原根g

6、。因构成模m的缩系，由得令则故恰有个t，使得(t,d)=1，从而知故恰有j(d)个l，使得dm(gl)=d。特别地，取d=j(m)知模m的缩系中恰有个原根。第十四题：设g是模m的一个原根，证明：若通过模m的一个缩系。证：是完全剩余系0，1，2，，又g是模m的一个原根：对模数m两两不同余又因为（g，m）=1所以因此，通过模m的一个缩系。