样本空间与概率空间

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1、样本空间、概率空间及概率的公理化定义一、样本空间在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。我们用表示随机试验。随机试验的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件（样本点）。随机试验的所有基本事件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。例1掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基本事件构成一个样本空间。例2掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。例3向实数轴的区间

2、上随意地投掷一个点。在区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即区间）构成一个样本空间。抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为，其中表示样本点。这里小括号表示所有样本点构成的集合。样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。定义设样本空间的某些子集构成的集合记为，如果满足下列性质：（1）；（2）若，则；（3）若，则那么称是一个波雷尔（Borel事件域），或事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间的子集称为一个事

3、件。特别指出，样本空间称为必然事件，而空集称为不可能事件。在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，表达式中的花括号。是指事件的集合。在例2中共有六个样本点，记为出现“点”的样本点，。作，它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。中一元素（即）或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。在例3中，作

4、区间中任意子集。构成一个波雷尔事件域，其中3每一个元素是一个事件。再构造另一个波雷尔事件域。若取，，而，即是区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集类。集类是指以点集作为元素的集合。显然不具有波雷尔事件域的第三条性质，这是因为中可列无限个元素之和，也可以是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是中的元素（例G）），因而不是波雷尔事件域。记是包含的最小的波雷尔事件域。数学上可以证明与并不重合，而中的元素比少。波雷尔事件域中的每一个元素都是事件。需要指出，在上面的三个例子中，四个有三个取为样本空间中任意子集全体构成的波

5、雷尔域，因而样本空间的1任意一个子集都是事件。但是，还可以选的一部分子集构成一个波雷尔事件域，如例3中的。又如在例1中取，这种也构成波雷尔事件域（平凡的波雷尔事件域）。此时只有两个事件，但这样取的实际意义不大。二、概率的公理化定义在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。古典概率定义要求样本空间由个等可能性的基本事件构成，具有一定的局限性。概率的统计定义与大量重复试验相联系。现在介绍一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽象出来的，同时又保留

6、了具体概率定义中的一些特征。事件的概率是对应于波雷尔事件域中每一个的子集的一个数，即可以看成集合函数。概率的公理化定义设是定义在样本空间中波雷尔事件域上的集合函数。如果满足（1）对任一，有；（2）；（3）若两两不相交，即，且，则那么称是波雷尔事件域上的概率。在例1中定义，其中是事件包含的样本点数，，那么是概率。另外，如果定义（正面），（反面）（正面或反面）（空集），这样定义的也是概率。在例2中定义，其中是事件包含的样本点数，，那么是概率。在例3中考虑波雷尔事件域，数学上可以证明在上存在一个集合函数，满足概率公理化

7、定义中的三个条件，且对，有，其中3两两不相交（显然是中元素），所以这个上的集合函数是概率。此概率表示区间上的均匀分布。特别指出，是由区间上任意子集构成的波雷尔事件域，数学上已经证明并不存在上的集合函数（！！！）。而对上述事件有，且满足概率公理化定义中的三个条件。对随机试验而言，样本空间给出它的所有可能的试验结果，给出了由这些可能结果组成的各种各样事件，而给出每一事件发生的概率。称为概率空间（三元有机体）。3