毕业设计-解析函数的孤立奇点.doc

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1、学号：****本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2011级姓名***论文题目解析函数的孤立奇点指导教师职称2015年月日目录摘要…………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………1Keywords…………………………………………………………1前言…………………………………………………………………11解析函数的概念……………………………………………………12解析函数的洛朗展

2、式………………………………………………22.1解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式…………………………………23解析函数的孤立奇点………………………………………………23.1孤立奇点的三种类型………………………………………………………23.2可去奇点……………………………………………………………………33.3极点…………………………………………………………………………53.4本质奇点……………………………………………………………………74无穷远点是奇点的情形……………………………………………8总结……………………

3、………………………………………………10参考文献…………………………………………………………………11解析函数的孤立奇点学生姓名:***学号:*****数学与信息科学学院信息与计算科学专业指导老师:冯书香　　职称:讲师摘要：本文介绍了解析函数的概念和解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式，以及解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点与无穷远点是奇点的情形．关键词：解析函数;洛朗展式;孤立奇点TheisolatedsingularityofanalyticfunctionAbstract：Wewilli

4、ntroducethedefinitionandLaurentexhibitiontypeofanalyticfunctionandthreetypesoftheisolatedsingularity,thatis,removablesingularity，thepoleandessentialsingularityaswellasthesingularityatinfinityinthispaper．Keywords：Analyticfunction；Laurentexhibitiontype；Isolate

5、dsingularity前言在复变函数中，解析函数是复变函数论的主要研究对象，它是一类具有某种特性的可微函数．在本文中，首先简单的给出了解析函数和孤立奇点的定义，解析函数的洛朗展式，以及解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式．接下来，详细的介绍了解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点，并结合具体的列子来研究各类奇点的性质与特点．1解析函数的概念定义若函数在的邻域上有定义，且在此邻域中函数处处有导数，则称函数在处解析．若函数在区域内有定义，且在内处处有导数，则称函数在区域内解析，或称是区域内的解析函数

6、．容易看出，函数在区域内解析与函数在区域内处处解析的说法是等价的．112解析函数的洛朗展式定理（洛朗定理）在圆环：内解析的函数必可展成双边幂级数，（2.1）其中，（2.2）为圆周，并且展式是惟一的（即及圆环惟一地决定了系数）．定义2.1（2.1）称为函数在点的洛朗展式，（2.2）称为其洛朗系数，而（2.1）等号右边的级数则称为洛朗级数．2.1解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义2.2如果函数在点的某一去心邻域：（即除去圆心的某圆）内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点．注因函数在内是单值的，故也称为的单值性

7、孤立奇点；如遇到在内是多值的，则称为的多值性孤立奇点，即支点（由于在支点的邻域内函数能由一支变到另一支，故函数在支点邻域内缺少单值性．因而它以最简单的方式破坏了函数的解析性．因此支点也是函数的奇点）．如无特别声明，提到孤立奇点总指单值性孤立奇点．当然，我们也会遇到非孤立奇点．如果为函数的一个孤立奇点，则必存在正数，使得在点的去心邻域：内可展成洛朗级数．3解析函数的孤立奇点孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型．以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质．孤立奇

8、点的三种类型11由上文知，我们可以在邻域内将展开成洛朗级数．下面，根据函数展开成洛朗级数的不同情况我们将孤立奇点作以下的分类．如是单值函数，是的孤立奇点，可以展开为在内为收敛的洛朗级数：，叫做关于奇点的主要部分，因为可依靠它来决定奇点的性质．叫做的正则部分．现在有三种可能性：（1）主要部分恒等于零，就是所有．例如，在原点的邻域内除了原点以外为正则，在内，洛朗展开式为，其主要部分等于零．