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《第二节 解析函数的孤立奇点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、§2解析函数的孤立奇点一、教学目标或要求：掌握解析函数的孤立奇点的分类许瓦兹引理二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的孤立奇点的分类许瓦兹引理的叙述和证明重点：解析函数的孤立奇点的分类难点:许瓦兹引理的叙述和证明三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4－7§2解析函数的孤立奇点1.孤立奇点的三种类型若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域内可以展开成Laurent展式。定义5.3设点为函数的孤立奇点：(1)若在点的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent展式不含负幂项），则称点为的可去奇点；(2)若在点的
2、罗朗级数的主要部分有有限多项，设为则称点为的级（阶）极点；(3)若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点为的本性奇点．依定义，点为的可去奇点，点为的二级极点，点为的本性奇点．2.可去奇点定理5.3若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：(1)在点的主要部分为0；(2)(3)在点的某去心邻域内有界。证由于且在内解析，从而连续，故。由于,故取，则, 即得。设，考虑在的主要部分 则 对成立，故当时，即得。3.Schwarz引理如果函数在单位圆内解析，并且满足条件则在单位圆内恒有且有。如果上式等号成
3、立，或在圆内一点处前一式等号成立，则，其中为一实常数。证设，令 由于在内,作为和函数是解析,又当时，，在时，，故在内,,于是在内,是解析的。任取,若满足条件,则根据最大模原理, 令,则,从而,又，即。由于时，故，又，故可统一成（1）的形式。当3)或4)成立时,由最大模定理在或0点取到了最大模，因此常数，使，即，故。4.极点定理5.4若以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的:(1)在点的主要部分为； (2)在点的某去心邻域内能表示成，其中在点的邻域内解析且；(3)以为级零点(可去奇点要当作解析点看，只要令。证“”在点的某去心邻域、内
4、有 其中 在的邻域上解析，且在的某去心邻域中，，其中在内解析且，故在点连续，从而存在中的某一个邻域，其上，从而在上解析，故由可去奇点的特征知，为的可去奇点，令，则以为级零点。若以为级零，则在的某个邻域内，，其中在上解析,且,于是存在的某个邻域,其上,于是在上解析,故有Taylor展式: 故 定理5.5的孤立奇点为极点.证根据定理5.4，以为极点 以零点。例求的奇点,并确定其类型。解的奇点为，由于以为一级零点,以为二级零点,故以为一级极点，以为二级极点。例
5、求的全部有限奇点。并确定其类型。解的全部有限奇点为,由于为的聚点，故为的非孤立奇点。现考虑为的几级零点。 故为的一级零点，从而为的一级极点。5.本性奇点定理5.6的孤立奇点为本性奇点，即不存在。证由于的孤立奇点为可去奇点为为极点，即得。定理5.7若为的孤立奇点,且在的充分小的去心邻域内不为0,则也为的本性奇点。证令则由为的孤立奇点，且在的充分小的可去邻域内知为的孤立奇点。若为的可去奇点，则；若则此时为的极点,与已知矛盾； 若,则,此时为的可去奇点,也与已知矛盾。若为的极点,则,从而，即为的可去奇点，与已知矛盾。综合知，只能是的本
6、性奇点。例为的本性奇点，因为不存在。6．毕卡定理定理5.8如果点为的本性奇点，则对于任何常数，不管它是有限数还是无穷，都有一个收敛于的点列，使得.换句话说，在本性奇点的无论怎样小的去心邻域内，函数可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）。证“”当时,由于为的本性奇点，故一定不是的可去奇点,由定理5.3，在的任何一个去心邻域内无界，对任意的 都存在则当时,若在的任意小去心邻域内都有某一点使,则结论已得。若的充分小去心邻域内,令则在内解析。由于为的本性奇点,也为的本性奇点,由定理5.7,为的本性奇点，类似于中的证明由不是的可去奇
7、点知，存在点列从而根据已知条件得不存在，由定理5.6即得。例设，试求在复平面上的奇点，并判定其类别．解首先，求的奇点．的奇点出自方程的解．解方程得若设，则易知为的孤立奇点．另外，因所以，由零点的定义知为的一级零点．从而知均为的一级极点．例求出的全部零点和级别。解：由=0解此方程.即=1即--zi=0两边同乘以得-2i-1=0即，从而有=I令即有,即，从而有，。故，±1，…)为的全部零点。又 ，因此，，±1，…)是的二级零点。 例求函数＝(k=±1,…)是的奇点，其中是孤立奇点，因为∞，且≠0故是的一级极点。又,因此，是的聚点,故是非孤立零点。课后
8、讨论1.到目前为止，我们学过了解析函数的哪些表达式？2.何谓解析函数的零点？零点是否必是解析点？3.Laurent展开的条件是什么？有哪
