排 列 组 合 原 理

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1、排列组合原理　　　　　　　　　　　　　　　　　　——思维方法的衍生法或派生法　　　我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要!为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　元 素　　通常人们把被取的对象(不管它是什么)叫做元素。　　　如若我们研究对象为数

2、字(如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素……　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　排 列　　　那么，一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。　　　例如：已知a、

3、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。　　　对于初学者可以先画下图来算出：　　　看上图V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)：　　　　　　　　　　　　　　　有共24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×mn6种不同的方法。据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２

4、＝２４种。　　　数学中有一个排列数公式：　　　从n个不同元素中取出m(m＜-n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号Pnm表示，(P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母)，在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为：   　　　Pmn＝n(n－１）(n－２）……(n－m＋１）　　　公式中的n,m∈N,且m≤n　　　例如：从8个元素中每次取3个元素出来排列，所得的排列数则为Ｐ38＝８×（８－１）（８－２）＝８×７×６＝３３６(种)　　　例如：从8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为Ｐ58＝８×（８－１）×（８－２）×（８－

5、３）×（８－４）＝８×７×６×５×４＝６７２０　　　例如：从8个元素中每次取2个元素出来排列，所得的排列数为Ｐ28＝８×（８－１）＝８×７＝５６　　　例如：从8个元素中每次取4个元素出来排列，所得的排列数为P48＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）＝８×７×６×５＝１６８０　　　在排列数公式中，当m＝n时，有：　　　Ｐnn＝n（n－１）（n－２）……３×２×１　　　这表明，n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素，全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列数公式则为：　　　　

6、　　Ｐnn＝n!　　　前面所讲的排列数公式可作如下变形：Ｐmn＝n（n－１）（n－２）……（n－m＋１）　　　　　　　　　　　　　　因此排列数公式还可写成下列形式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(注意：为了使这个公式在m＝n时也成立，我们规定0!＝1，这时Ｐnn＝n!)例如，从8个元素中全部取出来的排列数则为：8的阶乘。　　P88＝８×７×６×５×４×３×２×１＝４０３２０　　　从上述几个例子的分析可见，从68个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。　　　要是我们将几个思维法进行排列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们思考问

7、题时使用几种思维法去思维，若这几种思维法的使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维效果。可见，排列是一种很重要的方法。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组 合　　　一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。　　　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combinatio