3.15 轴对称与轴对称图形

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1、精华名师辅导教学内容：轴对称与轴对称图形【基础知识精讲】1.轴对称与对称轴：轴对称是指两个图形沿一条直线对折后完全重合，称两图形关于该直线轴对称，该直线称为对称轴.二者相辅相成，两图形轴对称，必有对称轴，而直线只有能使两图形沿之叠折后完全重合才称为对称轴.2.轴对称图形与轴对称：轴对称图形是指某一图形的两部分沿某一直线对折后完全重合，称该图形为轴对称图形.轴对称与轴对称图形即有联系，又有质的区别，它们都是图形关于某条直线对称，而前者是对两个图形而言，后者是指一个图形的两部分，两图形轴对称，对称轴只一条，而轴对称图形的对称轴可能不只一条，如正三角形三边中垂线均为

2、它的对称轴.轴对称的性质：由轴对称定义可直接得到“两图形若关于某一直线轴对称，则两图形全等.”以及课本上的定理2、定理3、及逆定理.【重点难点解析】重点：在于对轴对称及轴对称图形的掌握，掌握相关定理.难点：在于灵活运用定义及定理解决问题.例1平面内两条相交直线所构成图形，它的对称轴最多可能有几条？解①当两直线斜交时，对称轴为交点处所成角的平分线，共两条.②当两直线垂直时，除上述两条对称轴外，两条直线本身亦为对称轴.此时共4条对称轴.因此最多可能有四条对称轴.例2如图3.15-1，有直线MN上求一点P，使PA=PB.图3.15-1分析使PA=PB的点P在AB中垂

3、线上，又P在MN上，所以P应为AB中垂线与MN的交点.解连AB，并作AB中垂线交MN于P，P即为所求.证l为AB中垂线，P在l上∴PA=PB又P在MN上∴P为所求合条件的点.例3如图3.15-2,P为△AOB内一点，试在OA，OB上各找一点M、N.使△PMN周长最小.图3.15-2分析本题可借鉴课本91页例3的解题思路，若能在OA，OB找到点MN，使PM+MN+NP为某一线段的长，而另找到的OA、OB上的点与P构成的三角形周长都大于该线段长，则M、N为所求两点，故可考虑分别作P关于OA的对称点P1、P关于OB的对称点P2.连P1P2与OA、OB分别交于M、N.

4、△PMN即为所求.解分别作P关于OA、OB的对称点P1，P2，连P1、P2交OA于M，OB于N.△PMN即为所求.证在OA上任取一点M1，OB上任取一点N1(M1N1中至少有一点异于M、N)连MP1、N1P2.OA为P1P中垂线，OB为P2P中垂线，∴MP=MP1M1P=M1P1PN=P2NPN1=P2N1.△PMN周长为PM+PN+MN=P1M+MN+NP2=P1P2△PM1N1周长为PM1+PN1+M1N1=P1M1+M1N1+N1P2＞P1P2=PM+PN+MN∴△PMN周长最小，M、N为所求的点.例4△ABC中，AD为中线，AE是△ABD的中线，AB=

5、BD，求证AC=2AE(图3.15-3)图3.15-3分析考虑到AD、AE均为中线，故可将AE、AD延长一倍来解决问题，又要证AC=2AE，显然将AE延长一倍至F更为合适，连FD，下面只需证△AFD≌△ACD,就可得AC=AF=2AE.在证△AFD≌△ACD时，注意AE延长一倍后△ABE≌△FDE，结合已知条件AB=BD=DC.得DF=AB=DC，AD共公，只要解决∠ADF=∠ADC即可.而∠ADC为△ABD的外角.这是一个容易忽视的隐含条件.∠ADC=∠B+∠BAD.∠ADF=∠ADB+∠BDF，而∠ADB、∠BDF分别与∠BAD和∠B相等.评注本例对知识的

6、综合运用要求较高，要注意充分观察图形合理运用已知条件，充分发掘题中隐含条件来解决问题.证延长AE至F，使AE=EF，连FD∴AF=2AE.AE=EF∠AEB=∠FEDBE=ED∴△ABE≌△FDE.∠B=∠BDF∴FD=AB=BD=DC∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADB+∠BDF=∠AFD.AD=AD∴△ADF≌△ADC∴AC=AF=2AE∴AC=2AE.【难题巧解点拨】例1如图3.15-4,△ABC中，∠BAC=100°,M在BC上，△A′BC与△ABC关于BC对称，△A′B′C与△A′BC关于A′C对称，△A′B′与△A′B′C关于A′B′对称，这时M也随

7、之变为M′、M″，那么∠MA′M″=.图3.15-4解∵△ABC经过三次轴对称.∴△ABC≌△A′BC≌△A′B′C≌△A′B′C′.∠BAC=∠BA′C=∠B′A′C=∠B′A′C′=100°.∴∠BA′C′=360°-100°×3=60°,又经过对称后，M变为M′、M″∴∠CA′M=∠C′A′M″∠BA′M+∠C′A′M″=∠BA′M+∠CA′M=∠BA′C=100°∠BA′M+∠BA′C+∠C′A′M″=∠BA′C′+∠BA′M+∠CA′M=60°+100°=160°例2如图3.15-5，Rt△ABC中，∠A=90°,A关于BC的对称点为A′,B关于AC

8、的对称点为B′,C关于AB的对称点为C