局部世界网络模型

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1、无标度网络1959年匈牙利数学家Erdos和Renyi提出了随机网络的概念[1]，并对随机网络模型进行了深入研究，他们用概率统计方法研究随机图的统计特性和最大最小度分布。在模型开始阶段给定个节点，然后以概率用边连结任意一对节点，持续进行就形成了随机网络。例如描述通信网络时，通过随机变更的网络节点连结，可以有效地模拟这类网络（如下图1所示）。(1)个节点(2)以概率连接(3)生成随机网络图1随机网络形成图1981年Bollobas研究了所有度的分布形式，推导出度数为的节点数遵从平均值为的泊松分布，即：。也就是

2、说，连结数目比平均数高许多或低许多的节点，都十分罕见。在做大量统计实验之前，科学家预测万维网中连结数应服从泊松分布[3]，然而实验结果推翻了这个预测[2]。即：万维网是由少数高连接的页面连接起来的，它们拥有1000个以上的连接，但占节点总数不到万分之一。在计算恰好拥有k个连接的万维网页面的数目时，发现网页连接呈现“幂律分布”。经过科学家更多的研究发现，大量复杂系统，都存在这种少数但高连接的节点，这些具有大量连结的节点称为“集散节点”，遵循“幂律分布”。幂律分布在双对数坐标下呈直线，斜率为定值，无固定长度，其

3、分布和网络的规模尺度无关。对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，几乎找不到偏离节点度均值较大的点，故其平均度可以被看作其节点度的一个特征标度。在这个意义上，我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络（scale-freenetworks），并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。无尺度是复杂网络的特性之一，它具有以下四种基本的特征[2]：1.幂律分布在网络图中，节点的度分布是指网络度为k的节点的概率随节点度k的变化规律。无尺度网络的度分布遵循幂律分布：即任何节点与其他k个节点相连结的概率正比于。

4、2.不平等性科学家认为网络的增长和择优连接造成了无尺度网络节点之间的不平等性。在往已存在的网络中加入新节点时，它们更倾向于连接度数较大的节点，随着时间的推移，这些节点会拥有比其他节点更多的连接数目。已存在节点的度数越高，新节点与其建立连接的概率就越大。无尺度现象不仅仅出现在万维网中，在神经网络、细胞网络甚至人际网络中均有体现。3.鲁棒性无尺度网络表现出有很强的鲁棒性，如果随机地移除节点，那么被移除节点度数值小的概率比较大。因为无尺度网络中拥有大量连接的集散节点较少，又因为度数小的节点只拥有少量的连接。除去那

5、些具有少量连结的节点，对网络影响不大，系统依然运行，故无尺度网络具有很强的鲁棒性。4.脆弱性无尺度网络对蓄意攻击显得非常脆弱，由于集散节点拥有大量的连接，它支撑着整个系统的运行，若针对集散节点进行蓄意攻击，整个网络会遭到很大的破坏。因为集散节点连接的边数比较多，当集散节点溃散后，会使许多连接的边受到影响，也会使许多节点失去连接成为孤立的节点，从而影响和破坏整个网络的拓扑结构。科学家研究发现这种网络都具有一个共同特征：即少数节点具有大量的连接，其数目可以高达数百万个，而大多数节点只拥有少量连接。无尺度网络由于

6、其特有的拓扑结构使其对随机的攻击呈现很强的鲁棒性，但在蓄意攻击下却呈现脆弱性。BA模型与度的幂指分布近年来在复杂网络研究上的一个重大发现就是许多真实复杂网络具有幂指数形式的度分布函数，即。1999年Barabasi、Albert等[4]给出了一个宏观上度分布符合幂指形式的（微观）产生或构造方式。这种方式具有两个重要因素，即增长机制和优先连接机制（马太效应）。增长机制即网络规模不断扩大，优先连接机制是指一个新加入网络中的点更有可能与网络中已存在的具有较高连接度的点建立连接。例如，新发表的文章更倾向于引用一些已

7、经被广泛引用的一些重要文献。假定初始网络包含个节点，且没有任何边存在，定义如下：(1)增长机制：在每一个时间步，一个新的节点被加入到网络中来并与(，为常数)个网络中已经存在的节点建立连接；(2)优先连接：新增加的点与网络中某点进行连接的概率，被假定为正比于点的度。根据以上规则，在经过时间之后，可以得到一个具有个点以及条边的网络。BA模型幂指形式的证明(采用连续性方法)首先计算节点的度随时间的演化。假设是一个连续的变量，因为每个节点的加入与原有网络中的个节点连接，因此，在时刻，原有节点集合中总的度的增加值为。

8、又已知网络中节点度值的增加正比于其度分布概率，由于节点总数为，经过归一化后有.当有.考虑到初始条件，上式的解为，.节点的度小于的概率为(1)假设向网络中加入节点的时间间隔都相同，当，值的概率密度可视为接近均匀分布，即(2)将(2)式代入(1)式，可得因此，度分布可表示为.当，有可以看到，度分布不依赖于，也不依赖于时间，即BA模型的度分布不依赖于模型的尺寸。这表明，尽管网络尺寸在一直增大，但它却达到了一个稳定的无标