§2.1函数、反函数、映射

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1、§2.1函数、反函数、映射５【一线名师精讲】基础知识要点（一）映射1、映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B2、对于映射f：A→B，允许B中元素没有原象，但A中每一个元素必有唯一的象。对于A中的不同元素，在B中可以有相同的象。（二）函数1、函数是一种特殊的映射f：A→B，其中A、B必须是非空数集，其象的集合是B的子集。2、函数有三要素——定义域、对应法则和值域，其中对应法则是核心，定义域是函数的灵魂。三要素都相同的两个函数才是同一个函数。3、函数的三种表示方法—

2、—列举法、解析法和图象法。若函数在其定义域的不同子集上，对应法则分别不同或用几个不同式子来表示，这种形式的函数叫做分段函数。4、如果y=f（u），u=g（x），那么y=f【g（x）】叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内层函数，f（u）为外层函数。（三）反函数1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。因此，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应是原函数的值域。3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤是：（1）从y=f（x）中反解出x；（2）x与y互换；（3）写出y=f—1（x）的定义域（即y=f（x）的值域）。4、f－1(a

3、)=bf(b)=a，要善于利用它解题。5、掌握下列一些结论:（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数。（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数。（5）原函数与它的反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。基本题型指要◆题型一：映射与函数【例1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A=R＋，B=R，f：x→x2－2x－1，求A中元素的象和B中元素－1的原象。思路导引：根据象与原象的概念，列式或列方程解之。解析：当x=1＋时，x2－2x－1=0，所以1＋的象是0。当x2－2x－1=－1时，x=0或x=2∵0∴－1的原象是2。点评：对于给

4、定的映射，求指定元素的象用代入法，求指定元素的原象用解方程（组）的方法。【例2】集合A=｛a，b，c｝，B=｛－1，0，1｝，从A到B的映射f满足条件f（a）=f（b）+f（c），那么这样的映射f的个数是（）（A）2（B）7（C）5（D）4思路导引：本题既考查了映射的定义，同时也考查学生对数学语言的理解能力以及综合分析问题的能力。解析：由已知f（a）=0=1+（－1）=f（b）+f（c），f（a）=0=－1+1=f（b）+f（c），f（a）=0=0+0=f（b）+f（c），f（a）=1=1+0=f（b）+f（c），f（a）=1=0+1=f（b）+f（c），f（a）=－1=－1+0=f（b）+

5、f（c），f（a）=－1=0+（－1）=f（b）+f（c）所以满足条件的映射共有7个，故选（B）。点评：准确地掌握映射的定义，即可推出f（a）=0时，0=－1+1，0=1+（－1），0=0+0，从而一一列出，得出结论，同时考查了枚举法的解题思路。◆题型二：函数的三要素【例3】下列函数中表示同一函数的是（）（A）f（x）=x，g（x）=2（B）f（x）=x，g（x）=（）2（C）f（x）=1，g（x）=x0（D）f（x）=，g（x）=思路导引：两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则在实质上（不必在形式上）完全相同。解析：对于（A），f（x）=x与g（x）=５的对应法则不同；对于（B），

6、g（x）的定义域为与f（x）的定义域为R不同；对于（C），g（x）的定义域为与f（x）的定义域为R也不同。故选（D）。点评：定义域、对应法则和值域被称为函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以也可以说函数只有定义域和对应法则两大要素。【例4】设是方程4x2－4mx+m+2=0（xR）的两个实数根，当m为何植时，2+2有最小值？并求出这个最小值。错解：由根与系数的关系得α+β=m，=。错因：本例结果一看便知此题解错了，因为≥0，其错误原因在于忽略了“方程有实数根”的条件“△≥0”如何更正？正解：由根与系数的关系得：α+β=m，=。+=（+）2―2=（m―）―又、是原方程的两个

7、实根∴△=16m2-16(m+2)≥0∴m≥2或m≤-1，由图象知：当m=－1时，函数f（m）=α2+β2有最小值。◆题型三：求函数的反函数【例5】求函数y=x+2x的反函数。思路导引：先将它写成分段函数的形式，再分别求每段上的反函数。解析：原函数可化为①当x≥0时，则y≥0，由②当x<0时,则y<0,由点评：分段函数的反函数应先分段求解，再合并；在表示反函数的解析式时，必须写出反函数的定义域（即原函数的值域