对称矩阵的性质及应用

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1、目录摘要1关键词1Abstract1Keywords1前言11.对称矩阵的基本性质21.1对称矩阵的定义21.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………32.对称矩阵的对角化42.1对称矩阵可对角化的相关理论证明42.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例53.对称矩阵的正定性73.1正定矩阵的定义73.2对称矩阵正定性的判别84.应用举例11总结12参考文献1212对称矩阵的性质及应用摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式

2、空间问题中的应用等.关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用ThePropertiesandApplicationsofSymmetryMatrixAbstract:Thearticlemainlyelaboratesthedefinitionsofsymmetrymatrixanddiscussespropertiesandapplicationsofit,includingthebasicpropertiesofsymmetrymatrices,diagonalizationofsymmetrymatrices,positivedefinitenessof

3、symmetrymatricesandapplicationsinquadraticform,lineartransformationsandEuclideanspaceproblemsetc.Keywords:symmetrymatrix;diagonalization;positivedefiniteness;application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面

4、上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.1.1对称矩阵的定义定义1设矩阵，记为矩阵的转置.若矩阵满足条件12，则称为对称矩阵.由定义知：1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对

5、称位置上的元素必对应相等.即，对任意、都成立.对称矩阵一定形如.定义2形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.定义3若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵.定义4若矩阵满足，则称为反对称矩阵.由定义知：1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如.下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.1.2对称矩阵的基本性质及简单证明性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.证设、是阶对称矩阵，即,.则：，，.性质2设为阶方阵，则，，是对称矩阵.证因为，则是对称矩阵.12因为，则是对称矩阵，同理可证也是

6、对称矩阵.性质3设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）.证（1）因为可逆，，，所以是对称矩阵.（2）因为可逆，，，则是对称矩阵.性质4任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.证设为矩阵，，由性质2易证是对称矩阵，，则是反对称矩阵.性质5设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵.证因为,所以是对称矩阵.性质6设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换.证必要性：若为对称矩阵，则，又，，因此，、可交换.充分性：若，则，为对称矩阵.2.对称矩阵的对角化任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角

7、化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案.2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明定理1实对称矩阵的特征值都是实数.证设是阶实对称阵，是的特征值，是属于12的特征向量，于是有.令，其中是的共轭复数，则，考察等式，其左边为，右边为.故=，又因是非零量，故，即是一个实数.注意，由于实对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组为实系数方程组，由知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.例如，，，均为实数，而不是对称的.定理2设是实对称矩，定义线性变换,......(1)，则对任意向量，有或.证只

8、证明后一等式即可..定理3设是实对称矩阵，则中属于的