对称矩阵的性质及其应用【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学对称矩阵性质及其应用一、对称矩阵性质及其应用的研究方向现代科学技术的迅速发展，使得古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已称为现代科技领域必不可少的工具。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容。矩阵理论的应用随着人们对科学研究的深入变得愈来愈广。同其他的数学形式一样，矩阵是一种数量表达形式，而这一形式一方面对以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供

2、了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而对称矩阵作为矩阵小的特殊一分子，在数学各个学科的研究小有着特殊的地位。若AeP,ix,i且满足（A是A的转置矩阵），则称A为数域P上的对称矩阵。对称矩阵是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置。同时，它又贯穿了高等代数的许多重要方面。对称矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他科学技术领域的应用也非常广泛。对称矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣。对称矩

3、阵的研究，主要集中在理论与工程应用方面。理论方面主要是研究对称矩阵在对称矩阵的相关性质，包含实对称矩阵的基木性质、二次型矩阵基本性质以及K次对称矩阵的基本性质等，并在研究性质的基础上运用这些性质解决有关对称矩阵的分解问题、对角化问题、特征值问题，二次型及其标准化问题、正定性问题、及其合同问题等。对称矩阵的应用很广泛也很有实用性。实对阵矩阵可应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类。如：在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是000anx^-^a22y+ci33z+2ai2xy+2ai3xz+2a2

4、3yz+2b}x^2b2y+2b3z+d=0令(、a\a2a3/、Q]2Q。。。23,X=y,B=&I3。23°33丿z/则二次曲面方程可表示成X'AX+2FX+d=0。经过转轴，变换公式为X=CX}.其中C为正交矩阵且

5、C

6、=1.在新坐标系中,曲面的方程就是X1,（C,AC）XI+2（B,C）XI+〃=0。気00、根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使CAC=0入0。I。0切这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为人兀：+&）彳+/^Z]2+2b*x{+2b；y]+2b；z、+d=0,其屮（b

7、；,b；,肉）=（%伏厶）C。这吋再按照人，入是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程。譬如说，当人,入,人全不为零时，就作移轴西=兀2_J=力一Z

8、=Z2-沪//2胪2于是曲面的方程化为人怎+入y；+/二0,其屮/=〃一=一一=一一=一。二、对称矩阵的历史发展矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。矩阵的发展是与线性变换是密切相关的，到19世纪它

9、还仅占线性变换理论形成中有限的空间。但到二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。最早利用矩阵概念的是拉格朗日在1700年后的双线性型工作屮体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件

10、就是今天所谓的正、负定矩阵的定义。尽管拉格朗tl没有明确地提出利用矩阵。但是随着对线性代数的研究，矩阵的概念很快被人们提出并熟悉。对称矩阵的研究主要来自对实二次型的研究。二次型的研究主要讨论二次型经过非退化线性替换化为只含有平方项的形式，以便于对二次型进行分类讨论。二次型与欧氏空间内积计算问题，二次规划的最优解问题等密切相关，物理及工程问题也可见其身影。因此，对称矩阵作为特殊的矩阵，由二次型岀发延伸岀一些重要的概念性质以及诸多的的应用。对称矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类。三、对称矩阵及

11、其性质的国内外研究现状及存在问题实对称矩阵在实二次型的研究小起着重要作用。实对称矩阵有着其特殊的性质。对于任一实对称矩阵，其特征值均为实数，相应于不同特征值的特征向量是正交的。且对任意的实对称矩阵，均可以正交相似于对角矩阵。相应的任意实二次型均可以通过正交替换化为标准型。实二次型中最为重要的是正定二次型，相应的矩阵为正定矩阵。正定