蝴蝶定理的八种证明及三种推广

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1、蝴蝶定理的证明定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则，于是。证法2过作关于直线的对称点，如图3所示，则联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即而由、知，，故。证法3如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，由上述两式相乘，并注意到得化简上式后得。[2]2不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也

2、可以完成蝴蝶定理的证明。证法4（Steven给出）如图5，并令-5-由，即化简得即，从而。证法5令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上述两式相减，得设分别为的中点，由，有于是，而，知，故。（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。-5-证法6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故

3、。[5]证法7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的一根。在轴上的截距为。同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得，即。证法8如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则即作于，作于。注意到-5-由与可得将代入可得，即。-5-二蝴蝶定理的推广和猜想（一）猜想1　在蝴蝶定理中,P、Q分别是ED、CF和AB的交点.如果P、Q分别是CE、DF和AB延长线的交点,我们猜想,仍可能会有PM=QM.推论1　过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF,连结CE、DF并延长交AB的延长线

4、于P、Q.求证:PM=QM.证明;设AM=BM=a,PM=x,QM=y;∠PME=∠QMF=α,∠PCM=∠DFM=β;∠CME=∠DMF=γ,∠QDM=∠CEM=δ;记△PME,△QMF,△PMC,△QMD的面积分别为S1,S2,S3,S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1=1知MP·MEsinαMQ·MFsinα·FQ·FMsin(π-β)CP·CMsinβ··MCsin(α+γ)·MDsin(α+γ)·DQ·DMsinδEP·EMsin(π-δ)=·DQ·MP2·EP·MQ2=1,即QF·QD·MP2=PC·PE·MQ2.②又由割线定理知PC·PE=PA·PB=(

5、x-a)(x+a)=x2-a2,QF·QD=QB·QA=(y-a)(y+a)=y2-a2.代入②式,得(y2-a2)x2=(x2-a2)y2.即a2x2=a2y2.由于a≠0,x,y>0,所以x=y.即PM=QM.[3]（二）猜想2　在蝴蝶定理中,显然OM是AB的垂线(O是圆心),那么,我们可以猜想,如果在保持OM⊥AB的前提下将圆O的弦AB移至圆外,仍可能会有PM=QM.推论2　已知直线AB与⊙O相离.OM⊥AB,M为垂足.过M作⊙O任意两条割线MC,ME分别交⊙O于C,D和E,F.连结DE,FC并延长分别交AB于P,Q.求证:PM=QM.证明：过F作FK∥AB,交直

6、线OM于N,交⊙O于K.连结MK交⊙O于G.连结GQ,GC.由于ON⊥FK,故有FN=KN,从而MF=MK(因为M在FK的垂直平分线上).又由割线定理知ME·MF=MG·MK.因此ME=MG.③又由∠FMN=∠KMN,OM⊥AB,知∠EMP=∠GMQ.④从∠CQM=∠CFK=∠CGK知∠CGM+∠CQM=180°,从而G,M,Q,C四点共圆.所以∠MGQ=∠MCQ.又由于∠MEP=∠DEF=∠DCF=∠MCQ,知∠MEP=∠MGQ.⑤由③、④、⑤知△PME≌△QMG.所以PM=QM.（三）猜想3　既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的,而双曲线是两条不相交的曲线,那么,我们可以

7、猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线(也即是两条平行线),仍可能会有-5-PM=QM.推论3　设点A、B分别在两条平行线l1、l2上,过AB的中点M任意作两条直线CD和EF分别交l1、l2于C、D和E、F,连结ED、CF交AB于P、Q.求证:PM=QM.证明：由于l1∥l2,M平分AB,从而利用△MAC≌△MBD知M平分CD,利用△MAE≌△MBF知M平分EF.在四边形CEDF中,由对角线相互平分知CEDF是平行四边形,从而DE∥CF.又由于M平分EF,故利用△MEP≌△MFQ知PM=QM。[4]-5-