高中数学教案 必修1 第九讲：幂函数

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1、博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名:年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第九讲：幂函数授课日期教学目标1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，培养学生的抽象概括能力；2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题,培养学生的灵活思维能力.教学内容幂函数〖教学重点与难点〗◆教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。◆教学难点：从五个具体的幂函数的图象中概括幂函数的性质，体会幂函数的图像的变化规律。〖教学过程〗　[来源:Zxxk.Com]一、创设情境，引入

2、课题下列问题中的函数各有什么共同特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（3）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（4）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．总结，即可得出：p＝w，s＝a3，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．-9-我们把这样自变量都是若干次幂的形式的函数称为幂函数．二、建立模型幂函

3、数的概念．一般地，形如：的函数称为幂函数，其中为常数．注意：由于无理指数幂的意义我们还没学到，因此目前只讨论a是有理数的情况．思考讨论：在幂函数y＝xn中，当n＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外．1、判断下列函数是否是幂函数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）是（2）是（3）不是（4）不是（5）不是（6）不是2、幂函数求m=_____答案：-

4、1三、解释应用【例1】1.求下列函数的定义域．(1)(2)(3)(4)(5)解：（1）R．　（2）R．　（3）｛x｜x≥0｝．　（4）｛x｜x∈R且x≠0）．（5）｛x｜x＞0｝．2.求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性．(1)(2)(3)(4)-9-解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函数．（2）R，非奇非偶函数．（3）R，奇函数．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函数．［问题探究］1.对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．定义域值域奇偶性单调性定点以上问题可以从函数解析式出发来研究函数性质．在同一坐标系中，

5、画出y＝x，y＝，y＝，y＝，的图像，并归纳出它们具有的共同性质．幂函数的性质：（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数．（3）如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当ｘ趋向于＋∞-9-时，图像在x轴上方无限地趋近ｘ轴．(4)当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数。思考讨论：（1）在幂函数中，当是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在

6、幂函数中，当是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？（1）在幂函数中，当是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数．（2）在幂函数中，当是正奇数时，函数是奇函数，在第一象限内是增函数．【例2】1.讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．　思路：函数y＝是幂函数．　　（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．　　（2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．　　（3）f（－x）＝＝＝f（x），　　∴函数y＝是偶函数；　　（4）∵n＝＞0，　　∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．　　由于幂函数y＝是偶函

7、数，　　∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减．　　（5）其图象如下图所示．　2.比较下列各组中两个数的大小：-9-　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，　　∵1.5＜1.7，∴＜，　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，　　∵＝，＝，又＞，　　∴＞．　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；　　（2）若能化为同底数，则用指数

8、函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．【例3】求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋