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1、《高等数学》（Ⅰ）期末练习题第一章函数与极限1.01在“充分”、“必要”和“充要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）数列有界是数列收敛的条件，数列收敛是数列有界的条件。（2）在某一去心邻域内有界是存在的条件，存在是在的某一去心邻域内有界的条件。（3）在某一去心邻域内无界是＝∞存在的条件，是在的某一去心邻域内无界的条件。（4）当时的右极限及左极限都存在且相等是存在的条件。1.02说明函数与表示同一函数的理由，这函数是初等函数吗？1.03举例说明“分段函数一定不是初等函数”这种说法是不对的。1.04说明符号函数不是初等函数的理由。1.05设的定义域是，求下列函数的定义域：（1）（
2、2）（3）（4）1.06设，求。1.07利用的图象作出下列函数的图形。1.09根据函数极限的定义证明：1.10求下列极限：（1）（2）（3）（4）1.11设要使在内连续，应当怎样选择数a？1.12设＝ 求的间断点，并说明间断点所属类型。1.13证明：1.14证明方程 在 内至少有一个根。第二章导数与微分2.01在“充分”、“必要”和“充要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）在点可导是在点连续的条件，在点连续是在点可导的条件。（2）在点的左导数及右导数都存在且相等是在点可导的条件。（3）在点可导是在点可微的条件。2.03根据导数的定义，求＝的导数。2.04求下列函数的及，又是否
3、存在。(1)＝(2)＝2.05讨论函数＝在处的连续性与可导性。2.06求下列函数的导数。(1)(2)(3)(4)(5) 2.07求下列函数的二阶导数。(1)(2)2.08求下列函数的n阶导数。(1)(2) 2.09设函数由方程所确定，求。2.10求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数。(1)(2)2.11求曲线在相应的点处的切线方程及法线方程。2.13利用函数的微分代替函数的增量，求的近似值。第三章中值定理与导数的应用3.01列举一个函数满足：在[a,b]上连续，在（a,b）内除某一点外处处可导，但在（a,b）内不存在点，使3.02设，求3.03证明多项式在上不可能有两个零
4、点。3.04设，证明多项式在（0，1）内至少有一个零点3.05设在上[a,b]连续，在(a,b)内开导，且，证明存在一点使3.06设，函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，试利用柯西中值定理，证明存在一点，使3.07设﹑都是可导函数，且，证明：当时3.08求下列极限：（1）（2）（2）（3）（其中）3.09写出函数在处的n阶泰勒公式。3.10证明下列不等式：（1）当时，;（2）当时，;3.11设，求的极值。3.12求椭圆上纵坐标最大和最小的点。3.13求数列的最大项。3.14描绘下列函数的图形：（1）（2）3.15曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。3.16证
5、明方程只有一个正根，并求出此正根的近似值，使精确到3.17设存在，证明：3.18设存在，且，证明3.19设在(a,b)内二阶可导，且。证明对于(a,b)内任意两点及，有：第四章不定积分求下列不定积分（其中a,b为常数）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.第五章定积分5.01填空（1）函数在[a,b]上有界是在上[a,b]（常义）可积的（因可积的定义可知必有界，反之有界不一定可积）条件，而函数在[a,b
6、]上连续是在[a,b]可积的条件。（2）对上非负连续的函数，它的变上限积分在上有界是广义积分收敛的条件。（3）绝对收敛的广义积分一定。（4）函数在[a,b]上有定义且在[a,b]上可积，此时积分存在。5.02计算下列极限：（1）（2）（3）（4）（连续）（5）5.03下列计算是否正确，试说明理由：（1）（2）因为,所以（3）5.04证明5.05设﹑在区间[a,b]上均连续，证明：（1）（柯西—施瓦茨不等式）（2）（闵可夫斯基不等式）5.06设在区间[a,b]上连续，且，证明：5.07计算下列积分：（1）（2）（3）（4）（5）5.08设为连续函数，证明：5.09设在区间[a,b]上连
7、续，且，,证明：（1）;（2）方程在区间内有且仅有一个根。5.10设，求5.11设在区间[a,b]上连续，且在区间[a,b]上连续不变号；证明：至少存在一点，使下式成立（积分第一中值定理）。5.12证明，并用它证明：5.13判别下列广义积分的收敛性：（1）（2）（3）（4）5.14计算下列广义积分：（1）（2）第六章定积分的应用6.01一金属棒长，离左端xｍ处的线密度为。问为何值时，一段的质量为棒质量的一半。6.04求由曲线与直线x=4，x轴所围图形绕y轴
