大数定律比赛教案

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1、教案授课日期：班次：课时：学时课题：第五章大数定律及中心极限定理（CLT）第一节大数定律教学目标：1.理解大数定律的背景及概念。2.掌握依概率收敛的定义及性质。3．掌握三个大数定律。4．会用大数定律解决实际问题。教学重点：理解大数定律的内涵。教学难点：理解大数定律的统计意义。参考书：《概率论与数理统计》高等教育出版社第四版浙大盛骤等编《概率论与数理统计教程》高等教育出版社第三版沈恒范编教学过程：第一节大数定律一、大数定律的背景和概念人们很早就发现，在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均值在一定条件下也具有稳

2、定性。例1：硬币指定一面出现的概率被认为是1／2。丹麦概率论学者克里克在二战时曾被拘留，在拘留中他做过几个试验以打发日子。在一个试验中．他投掷一枚硬币达10000次之多。在投掷的初期，该面出现的频率摆动很大。后来逐渐平缓，在0.5的附近摆愈来愈小，到10000次终结时频率为0.507，与0.5稍有差距。例2：测量桌子一条边的真实长度为a，一次测量的结果不见得就等于a，量了若干次后，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。大量独立随机试验中，大数定律又称大数法则、大数率。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（lawof

3、largenumber)。本章将介绍三个大数定律：（1）切比雪夫大数定律（2）伯努利大数定律（3）辛钦大数定律。它们之间既有区别也有联系。 早期概率论历史上最重要的学者雅各布•伯努利(JacobBernoulli,1654-1705)1654年出生于瑞士巴塞尔的一个商人世家.他毕业于巴塞尔大学,1671年获艺术硕士学位，后来遵照父亲的意愿又取得神学硕士学位，1687年，雅各布成为巴塞尔大学的数学教授，直到1705年去世。 雅各布•贝努利是在数学方面做过特殊贡献的伯努利家族(共产生过11位数学家)的重要成员之一。他在数学上的贡献涉及微积分、微分方程、解析几何、概率论以及变分法等领域。   雅各

4、布•贝努利一生最有创造力的著作就是1713年出版的《猜度术》(Arsconjectandi),在这部著作中,他提出了概率论中的“贝努利定理”，该定理是“大数定律”的最早形式。由于“大数定律”的极端重要性，1913年12月彼得堡科学院曾举行庆祝大会，纪念“大数定律”诞生200周年。二、依概率收敛定义及性质定义性质请注意：依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱些，它具有某种不确定性。三、大数定律1、定理一（切比雪夫定理的特殊情况）做前n个随机变量的算术平均则对任意的ε>0，有说明这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率收敛的意义下逼近某一常数。3、定理的另一种叙述方式：（切贝谢夫定理）切贝谢夫

5、大数定律是1866年被俄国数学家切比雪夫所证明，它是关于大数定律的一个相当普遍的结论，很多大数定律的古典结果是它的特例。切比雪夫定理的一个重要推论就是著名的伯努利定理。2、定理二（伯努利大数定律）设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有或此定理说明了频率的稳定性。由定理一有贝努里大数定律的重要意义：(1)“频率具有稳定性”这个正确的论断曾经在一系列的科学试验以及大量的统计工作中得到证实，而伯努利定理从理论上对此给出了严格的证明。也就是说，大数定律这个经验规律，一般人都能知其然，而伯努利的研究成果告诉你所以然。（2)提供了通过试验来

6、确定事件概率的方法:当试验在相同的条件下重复进行很多次时，随机事件的频率将稳定在事件的概率附近，这种方法是参数估计的重要理论基础。（3）是“小概率原理”的理论基础。小概率原理：实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。随机事件的概率究竟应该多小，才看作实际上不可能发生呢？要考虑随机事件的本质。例如：苹果0.03的坏果率完全可以允许。忽略高铁信号系统的故障率为0.03是不允许的。可以不夸张的说，整个概率论，其实都是建立在大数定律、即频率的稳定性基础上的，如果没有频率稳定性，概率论就失去了实际意义。例2从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂产品的

7、次品率解假设该工厂的次品率，则检查200件产品其中次品率的概率应为因为很大，且较小，故可按近似公式计算，并有，从而在工业生产中一般把概率小于0.05的事件认为是小概率事件，由此可见上述事件X是小概率事件。按小概率事件的实际不可能性原理，小概率事件在个别试验中实际上是不可能发生的，而现在却发生了，所以不能相信该工厂产品的次品率p%。下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.3、定理三（辛钦大数