曲线曲面积分算法总结

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1、一．第一类曲线积分(1)先把能带的积分区域带进被积函数中化简。（2）先看对称区域的对称性，看他关于对称是否（3）看到积分区域里出现标准球方程或者标准柱面方程，被积函数出现x，y，z平方的，考虑轮换对称性（4）遇到含有绝对值的被积函数，只需考虑积分区域的对称性问题，将其化为单值函数（5）物理意义：表示的是密度函数为f，在s区域里的曲线型构件的质量，几何意义：表示L为准线，垂直于XOY面的直线为母线的柱面面积。二.第二类曲线积分（1）如果看到分母是或，首先想到全微分，看看能否化成全微分的形式。或者可以先对P和Q求其关于和的偏导，并观察他们是否相等，如

2、若相等，则可以化成全微分的形式。（大部分情况靠感觉）这也是曲线积分与路径无关的习题中要考虑到的一个点（2）在遇到一些证明方面的第二类曲线积分不等式题目时，可以将其化为第一类曲线积分来做（3）由于基本功仍然不是很扎实，现在遇到分段情况的曲线积分一律逐段计算。(4)关于积分关于y=x对称可以置换的情况，应先将其换位重积分才能使用，即曲线积分应该不满足这种条件。（5）物理意义：表示变力沿曲线L（）从A到B所做的功。变力，从A到B所做的功，等于）三．格林公式，斯托克斯公式（1）当积分区域是圆形，椭圆等面积容易得知的区域时，在考虑完上述积分情况后，可考虑格

3、林公式。（2）当积分区域不是封闭的，但是是基本图形时，可以补充同向线段让其封闭，最后在剪掉那段就行（3）在含有奇点的区域里，一般来说都是做一个半径足够小的圆，来让他变成没有奇点的区域。利用格林公式把曲线积分化成二重积分后，一定不能把区域带进被积函数！！！！！(4)单联通区域：就是没有“洞”的区域，一条外边界复连通区域：可以有洞，但至少有一条内边界。（5）利用斯托克斯公式还原成重积分后，基本都会使用到合一投影法，然后在按照第二类曲面积分的方法解决。四．第一类曲面积分（1）如果要做投影，则需。一代，二换，三定限（重要）。五．第二类曲面积分(1)求法：

4、1.直接投影法2.利用高斯公式转化成三重积分3.合一投影法4.利用矢量点集法（类似于合一法）5.区域轮换对称性(2)当被积函数中出现抽象函数时，不能直接计算，也不能使用高斯公式（其实可以悄悄试试看能不能把抽象函数消除掉），只能由两类曲面积分的关系计算。（3）利用高斯公式化成三重积分后，一定别把区域带进被积函数！！！！！！！！！！！！（4）其实看到第二类曲面积分就应该用高斯公式试试，管它有没有3项。六．曲线曲面积分物理应用类型平面薄片空间实体曲线（平面）空间曲面高斯公式可推质量重心转动惯量做功流量七．场论1.方向导数。（是个数，注意会用到方向单位向

5、量）2．梯度grad（是个向量）3.散度div（假设有一向量场A=则divA=（）4.旋度rot（假设有一向量场A=，则rotA=假设有一向量场A=）