模块三数学扩充史

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1、数的扩充史数是文明开化的不可或缺的工具，用以将人类活动纳入一定的秩序。戴维斯半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。问渠那得清如许，为有源头活水来。朱熹前言为了了解我们所生存的物质世界和生命世界，数是不可缺少的工具。对数学理论和应用的理解是从对数的理论和应用的理解开始的。《中庸》上说过这样的话：物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣。数是我们学习和研究数学的开始，因而我们的讲座就以对数的认识作为出发点。要了解数的本质，必须抛弃静观的方法，从人类认识数的历史发展上寻求动态的解答。如果我们能够更好地把握数的发展史，我们就能在每个发现或发明的源头发现伟大的智力。

2、数的扩充史展现了数的丰富性和深刻性。从数的扩充史中我们学到两种思维方式：收敛性思维与分散性思维。收敛性思维是将精力集中到对独一无二的答案的寻找上；分散性思维在于打破旧框架，对传统问题给出新的解答。扩充、继承与创新是任何一门科学发展的必由之路。数的扩充也不例外。“由整数走向分数，由正数走向负数，由实数走向虚数，”这是扩充。在扩充的同时，我们希望“整数的性质分数也有，正数的性质负数也有，实数的性质虚数也有”，这是继承。当由复数扩充到四元数时，我们不得不牺牲乘法的交换律，这是创新。追溯数的历史不是一种单纯的回顾，而是一种新的综合，新的创造活动，以求达到对

3、数的更深刻的理解。§1数问先问几个问题。1．关于数有几种知识？答曰：两种知识。在学习数的基本性质和概念时，有两种知识是基本的：一个是正确理解概念，一个是要会算。概念知识：就是正确理解数的概念的问题，，其中还包括，数系的基本性质，数系的结构，以及这些数系与它们所反映的现实对象之间的关系。通过学习，要能够用符号、语言、图象表示、描述、和解释数量的性质和结构。程序知识：就是如何算的问题，即依照怎样的程序去计算。计算是学好数的一个基本功，要能用心算、笔算、计算器和计算机完成精确计算或近似计算。但我们不能只停留在一些常规的可预见的计算问题上，应该灵活地、有创

4、造性地使用数，并具备组织、操作和解释数量信息的能力。2．数有什么用？数的用途包含三个方面：计数与测量、排序、编码。计数与测量。计数与测量是数的最基本的功能，而四则运算直接与计数与测2量的对象和目的相关。这是从小学就要努力学习的东西。排序。对某集合的元素进行排序，如运动员得奖的名次，世界富豪排行榜等。对排序进行运算也是没有意义的。编码。在由许多对象构成的集合中，为每一个对象编一个不同的号码，以便识别。例如，为篮球运动员编号。我们现在处于信息社会，数有了一种全新的功能，就是对一切信息进行编码。数的这个新功能大大地拓广了数学研究和应用的领域，并产生了一系

5、列数学化的新领域。对这样的编号进行运算也是没有意义的。3．十进位制是谁发明的？十进位制的诞生是数学史上的一个伟大事件。从发掘出来的材料来看，我国在五，六千年以前新石器晚期的出土陶器上就有了表示数字的各种符号，其中已含有十进位的雏形了。相当完善的十进位制出现在距今三四千年的殷商甲骨文和稍后的钟鼎文中。而且有了“十”，“百”，“千“，“万”等表示位置的特殊文字。这些事实说明，中国是使用十进位最早的国家。这是一件了不起的伟大事件，是数系发展过程中的第一个里程碑。在谈到十进制的伟大意义时，拉普拉斯说：“用十个记号来表示一切数，每个记号不但有绝对值，而且有位

6、置的值这种巧妙的方法出自印度（这一点他错了！）。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的文明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两个人物阿基米得和阿波罗尼的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”但是，并不是一切文明都是采用十进位制的。巴比伦人采用60进位制，罗马人采用12进位制，玛雅人采用20进位制。进位制也随着科学的进步而发展，例如，计算机诞生后，二进位获得了新的应用。4．数概念的进展有几个主要阶段？从简单到复杂，数

7、系的发展可以分为七个主要阶段。它们是1）正整数系：仅由正整数组成的数系；2）整数系：由正的和负的整数和0组成的数系；3）有理数系：由整数和分数组成；4）实数系；5）复数系；6）四元数、八元数等；7）超限数：处理无限集合的记数问题。从逻辑和教学的观点看，这种划分是次序井然的，但是从历史上看却不是这样。数的历史发展的大体顺序是自然数，分数，无理数，零，负数，虚数（复数）四元数、超限数。数的每一次扩张都引发了深层次的思考,也都留下了悬而未决的新问题.§2关键进展1．新的语言。当有人提出一个普遍性的问题时，科学和哲学就诞生了。最先表现出这种好奇心的是希腊人

8、。他们开始考虑物质的本质和构成。关于基本元素，泰勒斯以为是水，阿那克西曼德以为是气，赫拉克里特以为是火。留基伯提出了原子论