第8章 季节性时间序列模型

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1、第8章季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1基本概念许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。类似地，汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降

2、，因为这是经常更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。作为说明的例子，图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数，调查对象是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。这种现象每1

3、2个月重现一次，因而季节周期是12。8.2传统方法通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量(et)混合而成。如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列Zt写成Zt=Pt+St+et（8.2.1）为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。8.2.1回归方法在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Zt=Pt+St+et=（8.2.2）其中，Uit是趋势-循环变量；St=和是季节变量。例如，线性的趋势-循环分量Pt可以写成（8.2.3）更一般地，循环-趋势分量可

4、以写成关于时间的m次多项式：（8.2.4）类似地，季节分量St可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如，一个周期为s的季节序列可以写成（8.2.5）其中，如果t对应于季节的第j期，有=1，对于其他情况就为0；注意，当季节周期为s时，我们只需要（s-1）个季节虚拟变量。换言之，令使得系数（其中，）表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面，St也可以写成（8.2.6）其中，[s/2]是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是，模型（8.2.2

5、）成为（8.2.7）或者（8.2.8）对于给定数据集和特定的m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数，和的估计值，和。Pt，St，和方程（8.2.7）中的et的估计值可由下式给出：（8.2.9a）（8.2.9b）和（8.2.9c）对于方程（8.2.8）可由下式给出（8.2.10a）（8.2.10b）和（8.2.10c）8.2.2移动平均方法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量，因此，令为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到，即（

6、8.2.11）其中，m为一正数，为常数，且有以及。季节分量的估计可由原序列减去得到，即（8.2.12）前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用。被消除了季节影响的序列，即，称为季节调整序列。因此，前述季节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征，能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的兴趣。这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由Zellne

7、r（1978）编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章，主要有Dagum（1980），Pierce（1980），Hillmer和Tiao（1982），Bell和Hillmer（1984），以及Cupingood和Wei（1986）。8.3季节性ARIMA模型8.2节给出的传统方法基于季节分量是确定性的，且与其他非季节分量相独立。然而，许多时间序列并没有那么好的性质。更多的情况是季节分量可以是随机的，并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。为了说明问题，我们考

8、察美国1971-1981年16~19岁男性的月度就业统计数字，Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月相关，而且年与年也相关。因此，为了对6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察相邻月份（如5月和7月）的就业水平，而且还要考察前几年6月份的就业水平。通常Buys-Ballot表意味着包含周期内部和周期之间的相关关系。周期内部的关系表示…，Zt-2，Zt-1，Zt，Zt+1，Zt+2，…之间的相关性。周期之间相关关系表示…，Zt-2s，Zt-s，Zt，Zt+s，Zt