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1、曲线积分与曲面积分补充题1.设有表示曲面:,表示曲面.(1)求及所围立体的体积；（2）求被所截部分的表面积；(3)求被所截部分的侧面积；(4)若表示被所截的部分曲面,求；(5)若表示被所截的部分曲面,求；(6)若表示被所截曲面的上侧部分,求；(7)若表示曲面的交线在第一卦限部分曲线,从轴正向往下看是逆时针;设力,求该力沿曲线从到所做的功.(8)若其他条件同（7）,力为,此时功为多少?若点为上任一点，功又为多少？2.(1)设为连续函数,且对任意平面闭曲线都有.试证:.(2)设为连续函数,且对任意空间闭曲面都
2、有.试证:.(3)设有连续偏导数,且对任意封闭曲线,有.试证:.5(4)设有连续偏导数,且对任意封闭曲面都有.试证:.3.设为从点到点的有向光滑曲线弧.函数连续.证明:;;.4.设有向光滑曲线弧在面上的投影曲线为,其正向与的正向相应,且在光滑曲面上,函数连续.证明:(1)(2)5.设在内具有连续导数,求:，其中是从点到点的直线段.答案:-46.设函数具有二阶连续导数.曲线积分其中为平面上任一简单封闭曲线.(1)求使.（2）计算沿任一条曲线从到的积分.答案:7.设有连续导数,对平面上任意一条分段光滑曲线,积
3、分与路径无关.5(1)当时,求(2)设是从到的分段光滑曲线,求.答案:8.设连续可导,,为不含原点的单连通区域.任取,在内曲线积分与路径无关.(1)求;(2)求,其中为取正向.答案:.9.设为连续函数,为平面上分段光滑闭曲线,证明:.10.设曲线的方向为逆时针,证明:11.若对平面上任何简单闭曲线恒有,其中在上有连续的一阶导数,且,试求:(1);(2).答案:.12.设在圆盘内有二阶连续偏导数,且,则.(是的外单位法向量).513.求其中是绕原点两周的正向闭曲线.答案:.14.计算.其中是平面与柱面的交线
4、,从轴正向看是逆时针.答案:.15.已知平面区域,为的边界,试证:(1).;(2)..16.确定常数,使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求.答案:.17.计算,其中取外侧.答案:.18.设有连续导数,计算.其中是所围立体的外侧.答案:.19.计算曲面积分.其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴的正向夹角为锐角.答案:.20.求其中为5绕轴旋转所成的曲面下侧.答案:.21.设为椭球面的上半部分,点,为在点的切平面,为点到平面的距离.求.答案:.22.设是圆周的正向边界曲线.为大于零的连续函数
5、.证明:.23.设函数具有一阶连续偏导数,且满足,闭曲线C包围原点,取正向.证明:24.设是球面(常数).证明:.25.计算,其中取外侧.26.设试计算曲面积分。答案:5
