无穷乘积的敛散性

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1、目录摘要1关键词11数项无穷乘积的定义12数项无穷乘积的敛散性的判别23函数项无穷乘积的定义84函数项无穷乘积的一致收敛的判别8参考文献11英文摘要1212无穷乘积的敛散性夏晓丹学号：20101101890数学科学学院数学与应用数学专业2010级汉一班指导老师刘官厅摘要：给出了无穷乘积和函数项无穷乘积的定义以及与无穷乘积有关的重要定理，依据级数理论以及无穷乘积与级数的关系，给出了几种无穷乘积的收敛性判别方法、函数项无穷乘积的一致收敛性.关键词：无穷乘积部分乘积敛散性一致收敛性1数项无穷乘积的定义定义1给定数列，，，，.如果把

2、这无穷多个数相乘，称为一个无穷乘积.定义2设是一个无穷乘积，称（，，）为这个无穷乘积的部分乘积.如果当时，数列有有限的极限，且，则称这个无穷乘积是收敛的，记为.如果的极限不存在，或者虽然存在但是等于，则称它是发散的.例1证明无穷乘积是收敛的.证明：因为（）.所以无穷乘积收敛.122数项无穷乘积的敛散性的判别定理1（Cauchy收敛原理）无穷乘积收敛的充要条件是，，当时，对，有.证明：“”因为无穷乘积收敛，所以当时，极限存在，由数列极限的定义得有界，从而，,当时，有，从而，再由数列收敛的柯西收敛原理得，,当时，对，有.所以取,

3、对,当时，对，有，即.“”当时，得，即，从而得有界，从而有界，即，,当时，有，由已知得，,当时，对，有，从而，取，对，当时，有，当时，即极限存在，所以无穷乘积收敛.推论1无穷乘积收敛的必要条件是.证明：设，则（）.12例2设（，，），则其部分乘积（），因而是发散的.由于收敛的无穷乘积的通项（），所以从某个起，都是正数，因此在整个无穷乘积中，负因子只能用有有限项，所以不妨假设所有的都是正的，在下面的讨论中，把写成（，，），其中.这样收敛的必要条件就是.定理2无穷乘积收敛的充要条件是级数收敛.在收敛的情况下，如果的和是,那么.证

4、明：因为，所以，这里是级数的部分和，如果，那么.反之如果，则.定理3如果从某个起都有（或者），那么与同敛散.证明：因为不论与何者收敛都有，因此总可假定这个条件成立.这是有，因而级数与同敛散，由定理1可得与同敛散.定理4如果，那么与同敛散.12证明：由于，可推出，因而，从而收敛，所以级数与同敛散，从而与同敛散.注意：如果，结论不一定成立.例3设，证明：，都发散，但是收敛.证明：考虑，则有（，，），由于收敛，而发散，从而正项级数发散，即原级数发散.再记，则有由收敛，而级数发散，从而正项级数发散，即原级数发散.再考虑无穷乘积对应的

5、级数，其中（，，）令12于是级数收敛，注意到（），从而级数收敛,由定理2得无穷乘积收敛.定理5发散到的充要条件是.证明：因为发散到，所以，又因为，所以，即.定理6如果，且发散，那么发散到.证明：由，知，因为发散，所以发散到，从而发散到.定理7如果收敛，但发散，那么发散到.证明：从发散，即，以及，可得，但是收敛，因而必有，由定理5，得发散到.例4设，证明：，这里，.12证明：由已知得因为，且发散，由定理6知无穷乘积发散到，即.例5设，讨论无穷乘积的敛散性.解：记，则收敛.当时，收敛，由定理4知无穷乘积收敛；当时，发散，由定理7

6、知无穷乘积发散到.定义3如果无穷乘积收敛，则称无穷乘积绝对收敛.定理8绝对收敛的无穷乘积一定收敛.证明：设无穷乘积收敛，由定理3知收敛，又因为，所以收敛，从而收敛，再由定理1知收敛.定理9任意改变绝对收敛的无穷乘积因子的次序，所得的新的无穷乘积仍然绝对收敛，且其积不变.证明：设绝对收敛，任意改变其因子的次序得到一个新的无穷乘积12，由定理8的证明知，绝对收敛，所以它可以任意改变求和的次序，因而也绝对收敛，而且，从而绝对收敛，且.定义4如果无穷乘积收敛，但无穷乘积发散，则称无穷乘积条件收敛.例6证明无穷乘积条件收敛.证明：记，

7、则收敛，又因为，所以收敛，由定理1知收敛；由发散，由定理3知发散，所以无穷乘积条件收敛.例7讨论的敛散性.解：由于通项（当时），由收敛的必要条件知发散；且由于部分乘积（当时），发散到.例8讨论无穷乘积的敛散性.解：由，其中不变号，由于级数，当时收敛，而当时发散，由定理3知当时，无穷乘积收敛；当时，无穷乘积发散.123函数项无穷乘积的定义定义5设，，，是定义在区间上的一列函数，称是区间上的一个函数项无穷乘积.在区间上任意取一点，那么就是一个数项无穷乘积.如果收敛，则称函数项无穷乘积在点处收敛；反之，则称在点处发散.定义6设是一

8、个函数项无穷乘积，称（，，）为这个函数项无穷乘积的部分乘积.定义7设是定义在区间上的一个函数项无穷乘积，令为它的部分乘积，如果函数列在上一致收敛与，则称函数项无穷乘积在上一致收敛与.定义8设是定义在上的函数列，如果对，都有正数，使得（，，）成立，则称函数列在上逐点有界，这里是随的变化而变化