25求阴影部分图形面积新题型(含解答)

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1、求阴影部分图形面积新题型近年来的中考数学试卷中,围绕图形面积的知识,出现了一批考查应用与创新能力的新题型,归纳起来主要有:一、规律探究型例1宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案,给出了如下几种初步方案,供继续设计选用(设图中圆的半径均为r).(1)如图1,分别以线段O1O2的两个端点为圆心,以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案,试求两圆相交部分的面积.(2)如图2,分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心,以其边长为半径,作出三个两两相交的相同的圆,这时,这三个圆相交部分的面积又是多少呢?(3

2、)如图3,分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心,以其边长为半径作四个相同的圆,则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢?(2005年黄冈市中考题)分析(1)利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可;(2)利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可;(3)直接求解比较困难,可利用求补法,即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”-9-,考虑到四个圆半径相同,若延长O2O1交⊙O1于A,则S空白=4SO1AB,由(1)根据对称性可求SO1BO4,再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”,这样

3、S空白可求.解答(1)设两圆交于A、B两点,连结O1A,O2A,O1B,O2B.则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓.∵S菱形=2S△AO1O2,△O1O2A为正△,其边长为r.∴S△AO1O2=r2,S弓=-r2=-r2.∴S阴=2×r2+4(r2-r2)=r2-r2.(2)图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓.∵△O1O2O3为正△,边长为r.∴S△O1O2O3=r2,S弓=-r2.∴S阴=r2+3(-r2)=r2-r2.(3)延长O2O1与⊙O1交于点A,设⊙O1与⊙O4交于点B,由(1)知,

4、SO1BO4=(r2-r2).∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=-(r2=r2)=-r2+r2.-9-则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r2-4(-r2+r2)=r2+r2-r2=(+1-)r2.二、方案设计型例2在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园所占面积为荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.小明的设计方案:如图1,其中花园四周小路的宽度相等,经过解方程,我得到路的宽为2m或12m.小颖的设计方案:如图2,其中花园中每个角上的扇形都相同.(1)你

5、认为小明的结果对吗?请说明理由.(2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0.1m)(3)你还有其它的设计方案吗?请在右边的矩形中画出你的设计草图,并加以说明.(2004年新疆建设兵团中考题)分析(1)由小明的设计知,小路的宽应小于矩形荒地宽的一半,由此判断即可;(2)可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x;(3)可由图形对称性来设计.-9-解(1)小明的结果不对.设小路宽xm,则得方程(16-2x)(12-2x)=×16×12解得:x1=2,x2=12.而荒地的宽为12m,若小路宽为12m,不符合实际情况,故x

6、2=12m不合题意.(2)由题意,4×=×16×12x2=,x≈5.5m.(3)方案有多种,下面提供5种供参考:三、网格求值型例3图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形.(1)直接写出单位正三角形的高与面积;(2)图1中的ABCD含有多少个单位正三角形?ABCD的面积是多少?(3)求出图1中线段AC的长(可作辅助线);(4)求出图2中四边形EFGH的面积.(2005年吉林省中考题)-9-分析(1)由正三角形边角关系来求;(2)仔细观察

7、图1便可找到答案;(3)考虑到图1中AB=3,BC=4,∠B=60°,可作△ABC的高AK,构造直角三角形,再利用解直角三角形知识即可求得;(4)可利用网格构造特殊格点图形,再由求补法计算四边形EFGH面积.解:(1)单位正三角形的角为,面积为,(2)ABCD含有24个单位正三角形,故其面积为24×=6.(3)如图1,过A作AK⊥BC于K,在Rt△ACK中,AK=,KC=.∴AC===.(4)如图3,构造EQSR,过F作FT⊥QG于T,则S△FQG=FT·QG=××4=3.同理可求S△GSH=,S△EHR=6,

8、SEQSR=18.∴S四边形EFGH=SEQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR=18-3--6=8.-9-四、图形对称型例4如图,半圆A和半圆B均与y轴相切于点O,其直径CD、EF均和x轴垂直,以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D、F,则图中阴影部分的面积是_________.(2005年河南省中考题)分析由题意知,图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y轴对称,故y轴左侧阴影部

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