解析几何综合题的解法

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1、解析几何综合题的解法杨树芳中学高级教师一、四大能力1、阅读理解能力。2、推理论证能力。3、计算能力。4、创新能力。题型1：由曲线的相关性质求曲线的方程。（轨迹方程）题型2：由曲线的方程研究曲线的性质：（1）最值问题。（2）定值问题。（3）参数的取值范围。（4）证明题。常用的数学思想与数学方法：1、函数与方程的思想。2、分类讨论的思想。3、数形结合的思想。4、转化的思想。5、整体的思想。例1已知椭圆与直线x+y=1相交于两点P、Q且OPOQ（O为原点）（1）求证：为定值。（2）若椭圆的离心率在[，]上变化，求椭圆长轴的取值范围。PQO（1）解法①设P（x1,y1)，Q(x2,y2

2、）∵OPOQ∴又∴即解法②∵x+y=1∴(x+y)2=1即∵K1K2=-1∴你能否猜出这个定值？11例2：已知动圆C与定圆x2+y2=1及直线x=3都相切。求圆心C到点P（m,0）距离的最小值。COMxy23解：（1）当两圆内切时：

3、OC

4、=R-1=

5、CM

6、-1∴动点C到定点O与到定直线x=2的距离相等，即C点的轨迹方程是：y2=-4(x-1)。此时（x≤1）①当②当(x=m+2)(x=1)综上：（2）当两圆外切时，

7、CO

8、=R+1=

9、CM

10、+1COMxy43∴动点C到定点O与到定直线x=4的距离相等，即C点的轨迹方程是：y2=-8(x-2)(x≤2)

11、cp

12、2=(x-m)2+

13、y2=(x-m)2-8x+16=[x-(m+4)]2-8m(x≤2)yxMPAO例3如图：已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)上支顶点为A，上支与直线y=-x交于点P，以A为焦点，M（0，m）为顶点且开口向下的抛物线过P点。设直线PM的斜率为k，当时，求a的取值范围。yxMPAO∵A为抛物线的焦点，M为其顶点，∴抛物线的方程可设为：x2=-4(m-1)(y-m)——①∵P在抛物线上∴a2=-4(m-1)(a-m)。①转化为此方程在上有根的条件。解法②由4ak2+4(a-1)k-a=0，解出例4：yMNO-p如图：点M在定直线x=-p(p>0)上移动，动点N在

14、线段MO的延长线上，且满足（1）求动点N的轨迹方程。（2）说明N点的轨迹是什么曲线。（3）当P=1时，求

15、MN

16、的最小值。解法（1）——①又∵M，O，N三点共线代入①得N点的轨迹方程是：(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0，（x>0）,（p>0)设N（x，y）,M（-p，t），代入已知条件：解法（2）由已知得：设线段MN与x轴的夹角为αMNO-pxy以下同上（2）I当p=1时：N点的轨迹方程为表示顶点为开口向右在y轴右侧的抛物线。II当P≠1时，轨迹方程为当p>1时，表示椭圆在y轴右侧的部分。当0

17、2x+1(x>0)当x=1时

18、MN

19、min=4例5：设椭圆过原点且倾斜角为θ和和椭圆E相交于A,B和C，D(1)、试用m，n，θ表示四边形ABCD的面积S。的两条直线(2)、若m，n为定值，上变化，求S的最大值T。(3)、求T>mn，求的取值范围。BAyxCDO解:(1)如图，设A(x，y)，由对称性可知：S=4xy，k=tgθ设AC的方程为y=kxuy即0n>0)时，T＝2mn>mn显然成立。此时当(n>m>0)时例6：已知椭圆和直线L:(k＋3)x＋(2k-

20、1)y+2k-1=0。(1)、求证：无论k取何实数，直线与椭圆都有两个不相同的交点。(2)、若直线与椭圆相交于A,B两点，且，求k的值。解:(1)解法①当L:x=0与椭圆有两个不同的交点。当时，∴直线与椭圆有两个不同的交点。解法②直线L：k(x-2y+2)+3x+y-1=0对任意k恒成立，则直线过点F（0，1），而F在椭圆内，∴直线与椭圆总有两个不同交点。(2)∵定点F(0,1)恰为椭圆的焦点ABFd1d2设AB的方程为例7：已知直线L过定点（3，0），倾斜角为α，试求α的值，使得抛物线C：y＝x2的所有弦都不能被直线L垂直平分。OBCAyx先求存在能够被L垂直平分的弦时，α的

21、取值范围。（1）当α=0o，α=90o时，抛物线的所有弦都能不被直线L所平分。（2）当α≠0o，α≠90o时，设L：y=k（x－3），k=tgα若弦AB能被L垂直平分，AB:……①则A,B的中点OBCAyx又C在L上，代入①得12k3＋2k2＋1<0,即(2k+1)(6k2—2k+1)<0,∵(6k2—2k+1)恒正，∴2k＋1<0则不能被L垂直平分，解法（2）：设A(x1，y1),B(x2,y2)则，以下同上，（略）