单级移动倒立摆建模及串联pd校正设计

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1、武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书摘要单机移动倒立摆是一个非线性、不稳定的系统，对该系统的控制常用来验证各种不同的控制方法。本文主要探讨单级移动倒立摆的平衡原理及条件，采用了串联PD校正实现了倒立摆的平衡控制。首先，针对单级移动倒立摆的物理模型建立相应的数学模型，并提出合理的线性化方法，建立系统的传递函数：其次，设计串联PD校正，使系统的输出动态性能满足暂态性能指标：：最后，应用MATLAB软件的“.m”和“simulink”工具对系统进行计算机仿真，分析经过校正后系统是否满足动态性能指标要求。关键字：

2、单级移动倒立摆，非线性建模，系统PD校正，仿真，simulink15武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书单级移动倒立摆建模及串联PD校正1单级移动倒立摆的建模1.1单级移动倒立摆的物理模型单级倒立摆系统物理模型如图1所示。在惯性参考系的光滑水平平面上，放置一个可以水平于纸面方向左右自由移动的小车，一根钢性的摆杆通过末端的一个不计摩擦的固定点连接点与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级移动倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然能

3、够保持竖直向上的状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到轻微的摄动下就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体对位移时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。图1单级移动倒立摆的物理模型15武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书1.1.1单级倒立摆动力学方程的建立在惯性参考系中，根据牛顿力学原理，分析整个系统的受力情况，如2图所示，其中，N和P为小车与摆杆相

4、互作用力的水平和垂直分析的分量。M小车质量m摆杆质量l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）图2系统受力分析图是摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）应用Newton方法来建立系统的动力学方程，分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程：合并可得：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：15武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书

5、合并得到力矩平衡方程如下：方程中，当与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：、、，用来代替被控对象的输入力F，线性化两个运动方程如下：1.1.2单级移动倒立摆传递函数对以上方程组进行拉普拉斯变换，得到：注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组可以得到：于是得到传递函数为：代入M(小车的质量)=1kg，m(倒立摆的质量)=0.1kg,l（倒立摆的长度)=1m,g(重力加速度)=10m/s2到上式得：15武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书2单级移动倒立摆系统的串联比例微分（P

6、D）校正2.1未校正系统输出动态性能据未校正系统的开环传递函数可以画出系统的结构图，用Matlab中的工具SIMULINK画出系统的结构图，系统结构图如图3所示。图3系统未校正时的结构图用matlab函数作出系统未校正时的阶跃响应图，编写程序代码如下：num=[1];%定义分子多项式den=[1.370-11];%定义分母多项式step(num,den);%作系统的阶跃响应图Grid;得到系统阶跃响应图形和根轨迹如图4、5所示。图4系统未校正时的阶跃响应图15武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书图5系统未

7、校正前的根轨迹图根据未校正系统的传达函数可以作出系统的根轨迹图，可以用Matlab作出系统的根轨迹图形，编写matlab程序代码如下：num=[1];%定义分子多项式den=[1.370-11];%定义分母多项式rlocus(num,den);%绘制系统的根轨迹grid;%画出网络标度线xlabel('RealAxis'),ylabel('ImaginaryAxis');%给坐标轴加上说明title('RootLocus');%给图形加上标题得到系统未校正前的根轨迹图如图5所示。2.2校正前系统的伯德图用MAT

8、LAB绘制校正前系统的伯德图，编写程序如下：num=1;den=[1.370-11];s1=tf(num,den);%创建传递函数G（s）的TF模型对象15武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书[m,pi,w]=bode(num,den);%m为幅值pi为相角返回变量格式不做图margin(s1);%给开换系统模型对象s1绘制伯德图并在图上标注GmwgPmwp得到系统未校正前的伯德