概率论课件-第三章 随机向量及其分布

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1、第三章随机向量及其分布§3.1随机向量的概念及其分布函数§3.2二维离散型随机向量§3.3二维连续型随机向量§3.4二维随机向量函数的分布许多随机试验的结果ω，需要用n(n≥2)个的随机变量X1,X2,…,Xn同时来描述，这n个的随机变量一起构成随机向量(二维或多维随机向量)。例如，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y)；气象观测站观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和风向等观测值可看作多维随机向量(X1,X2,…,Xn)；又如学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量。由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随

2、机变量作为一个整体(即多维随机向量)来研究。需要讨论多维随机向量的各个随机变量分量，更需要研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。从几何角度看，一维随机变量就是第2章讨论的随机变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与n维(n≥3)没有本质上的区别。本章由随机向量的联合分布与边缘分布的一般概念入手，然后重点讨论二维离散型和二维连续型随机向量的联合分布与边缘分布，最后介绍二维随机向量函数的分布。n(n≥3)维的情况可以类推。§3.1随机向量的

3、概念及其分布函数3.1.1随机向量的定义和联合分布定义3.1.1设(Ω,F,P)为概率空间，如果Xi为随机变量(i=1,2,…,n)，则称向量(X1,X2,…,Xn)为随机向量。说明随机向量(X1,X2,…,Xn)是基本事件空间Ω到n维实数空间Rn的一个映射：即随机向量是一个取向量值的随机变量的有序集合。也称随机向量为多维随机变量。随机向量的统计特性(分布规律)由随机向量的联合分布函数来刻画。定义3.1.2设(Ω,F,P)为概率空间，(X1,X2,…,Xn)为其上的随机向量，它的联合分布函数定义为说明：分布函数在点(x1,x2,…,xn)处的值是一个事件的概率，该事件由使

4、得随机向量(X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω))落入以(x1,x2,…,xn)为顶点的半无限区域(-∞,x1)×(-∞,x2)×…,×(-∞,xn)的ω构成。以下定理说明了可用联合分布函数刻画随机向量的统计特性。定理3.1.1设(Ω,F,P)为概率空间，随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为，则定理3.1.1的(1)~(3)易于理解，对于(4)以n=2为例证明。对任意两点(x1,x2),(x1+h1,x2+h2),x1≤x2,h1≥0,h2≥0，则F(x1+h1,x2+h2)-F(x1+h1,x2)-F(x1,x2+h2)+F(x1,x2)≥0说明随机点落在

5、(阴影)矩形区域里的概率非负。关于二维随机变(X,Y)的联合分布函数F(x,y)的说明：如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值，就是随机点(X,Y)落在右图所示的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。由此，可证明n阶差分定理3.1.1中的四条性质称为随机向量分布函数的特征性质。若有定义于Rn上的实函数满足上述四条性质，则能构造一个概率空间(Ω,F,P)和其上的随机向量(X1,X2,…,Xn)，使定理3.1.1称为柯尔莫哥洛夫存在定理。联合分布与边缘分布关系的讨论：柯尔莫哥洛夫存在定理告诉我们，

6、随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数刻画了随机向量的整体统计特性。根据整体与各个分量的关系，随机向量每个分量的统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画。由于随机变量的具体取值是有限的，可由随机向量(n维随机变量)的联合分布函数唯一确定k维随机变量(1≤k

7、唯一确定，同样FY(y)由F(x,y)中x→+∞唯一确定。但其逆不一定成立。同样，可由随机向量的联合分布得到各二维随机变量的边缘分布，如此外，由联合分布函数的定义可知，联合分布函数具有对称性，即联合分布函数性质的推广：3.1.2随机变量的独立性定义3.1.3设(Ω,F,P)为概率空间，X1,X2,…,Xn为其上的随机变量，如果定义3.1.4(离散型与连续型随机向量定义)设(Ω,F,P)为概率空间，(X1,X2,…,Xn)为其上的随机向量。(1)若(X1,X2,…,Xn)取有限或可列无限个不同的值，则称之为离散型随机向量。定理3