大学课件概率论 第3章 随机向量及其分布2.ppt

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1、二维连续型随机变量例如，向一个靶面射击，考虑命中点的坐(X,Y)，就是一个二维的连续型随机变量。类似于一维随机变量，较为便捷的办法应当是引入密度函数来研究其分布情况。但是此时有X,Y两个随机变量，故其密度函数应该是某种“联合”的形式可以根据定义直接求其联合分布函数，但是往往非常复杂。若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x和y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶

2、柱体的体积二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为在上服从均匀分布.，则称是平面上的有界区域，其面积为其中例：在某一分钟内的任何时刻,信号进入收音机是等可能的.若收到的两个独立的信号的时间间隔小于0.5秒,则信号将相互干扰.试求一分钟内两信号相互干扰的概率.解：设两信号进入收音机的时刻分别为X和Y,则由题设有(X,Y)服从均匀分布,即X和Y的联合分布密度为：由题意，所求概率为：二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称服从参数为的二维正态分布二维连续型随机变量的边缘密度关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为设f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联

3、合概率密度函数。如果我们现在只想考察随机变量X或Y各自的情况，如何处理？二维连续型随机变量的边缘分布的边缘分布函数为关于Y的边缘分布函数为关于X二维连续型随机变量的相互独立★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意x,y都成立对于连续型随机变量，该定义等价于在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实

4、际意义补充说明例设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数.解:由得当时关于X的边缘分布密度为113所以，关于X的边缘分布密度为当时113所以，关于Y的边缘分布密度为当时当时,关于Y的边缘分布密度为例已知二维随机向量（X，Y）的密度为试确定k的数值，并求(X,Y)落在区域D={(x，y)

5、x2≤y≤x，0≤x≤1｝的概率、边缘分布密度函数及独立性。边缘分布密度和概率的计算解:(1)由概率密度性质，知y=x11y=x2连续型随机变量的条件分布类似地，Y的条件分布函数及条件密度函数为综上所述则：例设(X,Y)的密度函数为解：例设（X,Y)的联合分布密度为（1

6、）求k值（2）求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y<-1)和P(X>1/2)(2)均匀分布解：(1)由得当时-11当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..-11解：当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为解：（3）例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布分别积分，可得两个边缘密度函数为：即其联合密度函数为：即两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布。例设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于X，Y的边缘分布密度函数.解：关于X的分布密度函数为所以，.同理可得.不同的联合分布，可有相

7、同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布。