“线段公理”在求线段和差最值问题中的应用

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1、“线段公理”在求线段和差最值问题中的应用　　在几何问题中，有一类求动态中的线段和或差的最值问题，它一般不只是单纯的线段数量的运算，往往要通过构造“两点间的线段”的基本图形，利用“两点之间，线段最短”这一公理来获得最值问题的解决。形象地体现了数形结合的重要数学思想，充分展现了以形助数的思想方法，培养了学生数形转化的能力，所以受到关注与青睐，在各省的中考中也渐渐有所体现。而如何构造“两点间的线段”是解决问题的关键。本文就此举例归纳，望对广大学生有所启示与帮助。　　知识回放：人教版实验教科书八上，第十二章轴对称中的探究问题（P42）：要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站

2、修在管道的什么地方，可使所有的输气管线最短？　　图1分析：如图1，作点B关于管道的对称点B′，连接AB′，交管道于点C，即是泵站所在点。而AC′+C′B=AC′+C′B′>AB′（两点之间，线段最短）；　　通过“对称”及构建“两点间的线段”基本图形，将动态变化中的线段AC或BC转换，达到变化过程中的极限状态，得到最小值即“两点间的距离”。　　两个关键点：（1）找准对称轴。动点所在的管线即为对称轴。（2）同侧化异侧。同侧的两个点，通过作对称点，转化为对称轴异侧的两个点，连线即与对称轴相交，交点即是所求。　　1两点在同侧　　1。1一条对称轴　　图2例1如图2，菱形ABCD的边长为2，∠B

3、AD=60°，E为AB中点，连接AC，在AC上找一点P，使得PE+PB为最短，并求出这最短值。　　解析（1）点P是AC上的动点，则AC所在直线是对称轴。　　（2）点B、E在AC同侧，因此要转化成异侧。很显然，根据图形的性质，找点B比较方便，点B、D关于AC对称。　　连接DE，交AC于点P，易证△ABD为等边三角形，可得DE=3，则PE+PB的最小值为3。　　点评在轴对称图形中，本身含有对称的性质，其中的一个点的对称点已经存在，从而构成两点在异侧的情境，连接后就与对称轴有交点。　　1。2两条对称轴　　人教版八上习题P47：将军马饮问题。如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出

4、马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。　　图3解析如图3，动点有两处：草地与河边，因此关键之一就是确定有两条对称轴。关键二：A、B两点化异侧。作点A关于草地边的对称点A′，B关于河边对称点B′，这样，A′、B′两点在对称轴的两侧，连接A′B′，得两交点E、F，即是所求位置。取任意两点C、D，根据轴对称性质可知，　　AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′；AC+CD+DB=A′C+CD+DB′>A′B′。　　点评有两个动点时，那么动点所在的两条直线就为两条对称轴，再将两定点作关于两对称轴的对称点，分置于对称轴两侧，再连接，构建“两

5、点间的线段”这一基本图形，通过对称转换，将三条动态线段重新拼接在一起，利用“两点之间线段最短”实现“化折为直”，即得最短路线。　　图4例2（2011深圳中考）如图4，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。　　（1）求此抛物线的解析式。　　（2）过A点的直线与抛物线交于E点，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线对称轴，点G为直线PQ上的动点，则x轴上是否存在点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值。　　解析（1）易求得解析式y=-（x-1）2+4.　　（2

6、）有G、H两个动点，因此就确定有直线PQ和x轴两条对称轴，由题意知点D、E关于直线PQ对称；那么只需作点F关于x轴的对称点F′，将两动点放置对称轴两侧，连接EF′，交PQ于G，交x轴于H，则DG+GH+HF=EF′，此时D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。　　解由y=-（x-1）2+4可得E（2，3），A（-1，0），D（0，3）.　　求得直线AE解析式为y=x+1，知F（0，1）.　　则F′（0，-1），EF′=22+（3+1）2=25，所以D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小=25+2。　　2两点在异侧　　2。1直接连接　　例3如图5，C为线段BD上一动点，分别过点B、

7、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，BD=8，DE=1，设CD=x。　　（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；　　（2）点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？　　（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值。　　解析（1）AC+CE=25+（8-x）2+1+x2。　　（2）连接AE，交BD于点C。　　构建图6，得AE=62+82=10，　　由△EDC∽△AFE得ED1AF=CD1EF116=