漫谈数学的两重性的特征

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1、漫谈数学的两重性的特征数学在人类社会的历史演化中发挥着巨大的作用，数学是人类思维的智慧结晶，是人类文化和文明的思想瑰宝.美国著名数学家柯朗（Courant）在《数学是什么》中揭示了数学具有两重性的特点.他写道：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和对完美境界的追求.它 的基本要素是逻辑和直觉、分析和推理、一般性和特殊性.虽然不同的流派各自强调数学不同的侧面，然而，正是这些相互对立的侧面之间相互渗透和相互辨析，才构成了数学科学的生命力、实用性和崇 高价值.”因此，对数学的两重性，我们应该有一个深入的了解.一、数学是演绎的，也是归纳的一般说来，人

2、们认识客观世界的方式有两种，一是由认识个别的、特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳法.一是由认识一般的事物，过渡到认识特殊、个别的事物，这种认识方 法称为演绎法.认识的深化，是在归纳和演绎的交替过程中实现的.归纳把对许多事物的特殊属性的认识发展归结为对于一类事物的共同属性的认识.演绎把从归纳得出的一般结论作为依据，去研究其他个 别事物的特性.因此，归纳是演绎的基础，而演绎是归纳的深化.《几何原本》是数学发展史上的第一座理论丰碑.欧几里得（Euclid）将原有的数学知识进行梳理提炼，把理论的起点建立在人们的直觉上，找出少数最直观的原始概念和公设、公理，借助人类思

3、维 的先进逻辑推理模式，逐条推演出以后的命题，采用演绎法的体系建构了平面几何理论，从而确立了公理化思想，确立了演绎推理的范式.人们对数学演绎体系的推崇，表达了对科学理论方法的绝对信服 .数学从此步入发展的坦途.公理体系使得数学具有鲜明的学科特点，清晰的逻辑起点，明确的概念，正确的判断.是演绎推理使得数学内容条理清晰，基础敦实，结论正确，因而显示出巨大的力量.演绎可以引导归纳，当演绎 推理出现阻碍时，就是向归纳提出问题，促使归纳超越模糊、零散和残缺.然而，由逻辑演绎构筑起的理论体系制约着思维的自由，因为体系里面多是同语反复，只能环流，不能前进.这就是欧式几何理论成为长期制约非欧

4、几何产生的藩篱的重要原因.由此看出，逻辑演绎 的主要功能不是发现新的结论，而是架构基本概念、基本运算和基本命题之间的必然联系.逻辑演绎擅长的是检验这些联系之间的途径是否有效，却难以确定通往正确方向的途径，因为确定通往正确方向 的途径是需要做出选择的，而这恰恰是归纳法之所长.用公理化思想呈现出的数学理论，实际上也不是逻辑演绎的一统天下，其中的原始概念就是归纳的结果.甚至逻辑推理本身也不能说就完全是演绎的，它的发展路径是需要选择的，这只能靠归纳法来 完成.如果没有归纳法的参与，演绎法将寸步难行.另外，数学中的公理是不能用演绎法证明的，它是基于数学家的观念归纳出来的.演绎法所用的形

5、式逻辑也是不能用演绎法证明的，它是基于人类思维经 验的积淀和哲学信念的选择.由此看来，演绎法的过程须臾也离不开归纳，更不要说数学里的发现和创造了.我们在完成对一个数学问题的证明和计算之前，往往是通过归纳推理建立猜想，探究证明的途径和计算的程序，形成较为成熟的思路，而后才用演绎法把它呈现出来.归纳法通过试验、观察和联想， 总能得到有别于逻辑的判断，因此，归纳法成为人们探索和发现真理的主要工具.要创造新的数学领域，就要有新的观念，开拓新的领域，创立新的方法，提出新的概念.在这些方面，演绎法都是望尘莫 及的，试验、类比、观察、推广、概括、检验等归纳方法却起着不可替代的作用.坐标系的

6、建立，集合论的发现，微积分的确立等几乎所有数学里程碑的矗立，无一不是归纳的结果.如此看来，归纳法是 数学理论的助产士，它不仅不会影响数学的严谨性，而且还增强了人们对数学严谨性的信心，使人们对数学的无矛盾性深信不疑.归纳是演绎的基础，演绎是归纳的升华.归纳与演绎是人类认识世界的两个基本方法，他们相互影响，相互补充，相得益彰.中国古代的数学不可谓不发达，但是却只是停留在归纳的层次上，没有出现像欧几里得《几何原本》那样严密逻辑演绎的著作.历史告诉我们，没有逻辑演绎是可以有数学的，没有归纳法就一定不会 有数学.但是没有逻辑演绎不会有成熟的数学.中国古代的数学没有形成理论系统，就是因为

7、中国没有逻辑演绎的传统.在数学发展的历史上，应该说归纳法是居于主导地位的，演绎则居于主体地位，它们 共同组成了数学腾飞的双翼.中学数学作为数学的基础，当然兼具归纳和演绎的特征，我们在数学教学中既要培养学生演绎思维的缜密，又要培养学生观察、归纳、类比、联想、推广、猜想、实验等合情推理的思维习惯，在教 证明之前，先教好猜想.在数学教材中，对知识的呈现形式大多都采用演绎的方式.我们的教师在做教学设计时，要根据学生的认知特点，大多情况下，都有必要将数学知识的呈现形式改造成归纳的方式 ，以利于激发学生的学习兴趣和