数列通项公式的求法及数列求和方法

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1、数列通项公式的求法及数列求和方法详解专题一：数列通项公式的求法一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）.二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；答案：an=a1+(n－1)d=2(n－1)

2、；bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例3.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)(D)例4.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2：知利用公式.例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）.（2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.三、 累加法【型如的递推关系】10简析：已知

3、,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出10，即得数列的通项公式。练习1：已知数

4、列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项..答案：练习2：若在数列中，，，求通项.答案：=练习3：已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：四、累积法【形如=(n)·型】（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例8、（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为①10所以②用②式－①式得则，因

5、为所以故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。练习1：在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式.答案：练习2：已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式.答案：思考题1：已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.五、构造特殊数列法构造1：【形如,其中)型】（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法

6、构造等比数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得，所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.例9：已知数列的递推关系为，且求通项.答案：构造2：相邻项的差为特殊数列10例10：在数列中，，，，求.提示：变为.答案：构造3：倒数为特殊数列【形如】例11：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.答案构造4：例12：已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，

7、进而求出数列的通项公式。例13：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故时因此，则时也成立.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出10，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例14：已知数列满足，求数列的通项公式。解：上式两边同时除以得，令，则设，即，所以，故，因为，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，所以评注：符合形式的数列，可以两边同时除以，然后构造新的数列求通项公式.六、待定系数法：例15：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解析：设

8、建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n