数列通项公式的求法与数列求和方法精讲与练习.doc

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1、数列的通项公式的求法一、观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，......二、公式法若已知数列的前n项和与项数n的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。例2：的前n项和，求的通项公式。三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。1.迭加法已知递推关系例3已知数列满足，求数列的通项公式。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。131.迭乘法已知递推关系是例4：已知数列中，

2、，求的通项公式。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。3、待定系数法例5已知数列满足，求数列的通项公式。变式：已知数列满足，求数列的通项公式。134、数学归纳法例6已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，13由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。数列求和（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求

3、和公式：（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：3．错位相减法：比如4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：；；；。5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求的和。7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；132．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①②③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和思路分析：通过分组，直接用公

4、式求和。解：①②（1）当时，（2）当③总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。2．错位相减法求和例2．已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解：13当当3.裂项相消法求和例3.求和解:练习:求答案:4.倒序相加法求和例4求证：思路分析：由可用倒序相加法求和。证：令则等式成立5．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知数列。思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：，若13若练习：已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小。解：可求得，∵n为正偶数，（四）、小结：1．掌握各

5、种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分讨论。同步练习：数列的通项公式与求和练习113练习2练习3练习4练习513练习6练习7练习8等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则练习9求和：5，55，555，5555，…，，…；练习10求和：13练习11求和：练习12设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．13答案练习1答案：练习2证明：(1)注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得：S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/nnS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)nS(n+1)=S(n)*(2n+2

6、)S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0所以{S(n)/n}是等比数列(2)由(1)知，{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)即S(n)=n*2^(n-1)(*)代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)(n属于N)即a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N且n>1)又当n=1时上式也成立所以a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N)由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2^n=(n+1)*2^(n-2)*2^2=(n+1)

7、*2^(n-2)*4对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n练习3答案：1)a1=S1=1/3(a1-1)a1=-1/2a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2133a2=a2-1+3/22a2=1/2a2=1/42)3Sn=an-13S(n-1)=a(n-1)-1相减：3an=an-a(n-1)2an=-a(n-1)an/a(n-1)=-1/2所以{an}为等比数列！练习4累加法，答案：练习5累乘法，答案：练习6待定系数法，答案：练习7