航海数学教案-网络教学综合平台

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1、福建交通职业技术学院教案纸第页课程：航海数学10-11学年第_一_学期第周月日教学内容备注1.1函数概念一、新课引入函数是航海数学研究的主要对象，极限概念是微积分学的理论基础，本章将介绍函数、极限和函数连续性等基本概念，以及它们的一些性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基础知识.二、讲授新课1．基本初等函数我们把幂函数（为实数），指数函数且，对数函数且，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.其中三角函数为六个函数：；；；；；.反三角函数为四个函数：；；；.（1）幂函数它的定义域和值域依的取值不同而函数在内

2、总有定不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义.当或时，定义域为.常见的幂函数的图形如图1-1所示.图1-2图1-1（2）指数函数，它的定义域为，值域为.指数函数的图形如图1-2所示．81福建交通职业技术学院教案纸第页课程：航海数学10-11学年第_一_学期第周月日教学内容备注（3）对数函数图1-3，定义域为，值域为.对数函数是指数函数的反函数.其图形见图1-3.在工程中，常以无理数e＝2.718281828…，作且记为指数函数和对数函数的底，记，，而后者称为自然对数函数.（4）三角函数三角函数有：正弦函数、

3、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数.其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4所示.图1-481福建交通职业技术学院教案纸第页课程：航海数学10-11学年第_一_学期第周月日教学内容备注图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图形如图1-5所示.2．复合函数如果是的函数，是的函数，表示使得函数和都有定义的值的集合，当变量任取中的一个数时都有唯一确定的与之对应，我们则称是的复合函数，记作，其中称为自变量，称为中间变量．若复合函数是由多个

4、函数复合而成，则中间变量可用变量，，，，等表示．注意：函数的值域应在函数的定义域内，否则就没有意义.例如和等是复合函数；而则没有意义.例1指出函数的复合过程．解复合过程为　，u=sin(v)，v=2x+1．例2指出函数的复合过程．解　复合过程为　，，，．3．初等函数由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算或经过有限次的复合步骤所构成的，并且可用一个解析式子表示的函数叫做初等函数．81福建交通职业技术学院教案纸第页课程：航海数学10-11学年第_一_学期第周月日教学内容备注例如，，，，，等都是初等函数.不难发现

5、，我们过去所见到的函数一般都是初等函数.4．分段函数有些函数虽然也可以用解析式表示，但不能用一个解析式表示，在定义域的不同范围具有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.例如，，等都是分段函数.1.2函数极限1.当时的极限当时,函数的极限.考察函数的图形，容易发现不论都有.这样我们称该函数当时的极限为0（或收敛于0），记作=0或=0.一般的，当时，→A（常数），则称当时的极限为A，记为.否则，则称的极限不存在.当时的极限记为；当时的极限记为.极限存在的充分必要条件是和存在且相等.例1，，但，所以81福建交通职业

6、技术学院教案纸第页课程：航海数学10-11学年第_一_学期第周月日教学内容备注不存在.例2，.2.当时的极限例4考察当时，函数列表观察从左侧→←从右侧0.490.4990.49990.50.50010.5010.511.981.9981.999822.00022.0022.02从表中可以看出当（无论从左侧或从右侧趋于0.5）时，函数的值总是趋于2.这样我们则称当时，函数的极限为2，记为.一般的，当时，A（常数），则称当时的极限为A，记为.若是从左侧趋于（记为）时的极限为A，则称当时的左极限为A，记为；若是从右

7、侧趋于（记为）时的极限为A，则称当时的右极限为A，记为.极限存在的充分必要条件是和存在且相等.要清楚地认识例3观察说明.到何时用左右极注意到函数在点处没意义，而当时，函数的值的变化趋势却是2.限，何时不要用.这说明当时，函数的极限与函数在处有没有定义无关；反之，有定义也未必有极限.81福建交通职业技术学院教案纸第页课程：航海数学10-11学年第_一_学期第周月日教学内容备注又如在有定义，但由于，，即左右极限不相等，所以当时的极限不存在.判断分段函数在其定义域交界点处的极限是否存在时，需要考察其左右极限的情况.

8、例4函数，判别函数当，，时极限的存在性，若存在则求之.解（1）由于，，所以不存在；（2）由于，，所以；（3）.课堂小结1.应该熟记六种基本初等函数的性态，同时学习了复合函数与初等函数的概念，在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究；2.了解极限的定义，会求函数在一点处的极限、左右极限及极限存在的充要条件.作业：P21（2）（3）；P52；3.1.3极限运算法则一、复习提问1.复合函数