2010年高考数学题分类汇编（17）推理与证明

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1、2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第17部分:推理与证明一、填空题：1．（2010年高考陕西卷理科12）观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为.【解析】（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为；；，右边的底数依次分别为（注意：这里），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为.（方法二）∵易知第五个等式的左边为，且化简后等于，而，故易知第五个等式为.二、解答题：1.(2010年高考数学湖北卷理科20）(本小题满分13分)已知数列满足:,,；数列满足

2、：=-（n≥1）.(Ⅰ)求数列，的通项公式;(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.122.（22）（2010年高考全国卷I理科22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中，.12（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.【解析】（Ⅱ）用数学归纳法证明：当时.（ⅰ）当时，，命题成立；

3、123．（2010年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.124．（2010年高考江苏卷试题23）（本小题满分10分）12已知△ABC的三边长都是有理数。（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。[解析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满

4、分10分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。（2）①当时，显然cosA是有理数；当时，∵，因为cosA是有理数，∴也是有理数；②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，，，，解得：∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，∴是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数

5、。①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。②假设当时，和都是有理数。当时，由，，及①和归纳假设，知和都是有理数。12即当时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。5．（2010年高考江西卷理科22）（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.22．（本小题满分14分）证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．（2）若成等差数列，则有，即……①选取

6、关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于因此令，可得……②易验证满足①，因此成等差数列，当时，有且因此为边可以构成三角形．其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：，据比例性质有：12所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．6．(2010年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.[来源

7、:Z&xx&k.Com]【参考答案】12【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.7.(2010年高考重庆市理科21)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)在数列中，，其中实

8、数．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对一切有，求c的取值范围．12121212