5.1 5.2两点边值问题

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1、第一章，边值问题的变分形式1.1二次函数的极值定理1.1设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价：（1）求使其中（2）求下列方程组的解：1.2两点边值问题1.弦的平衡用表示在荷载force作用下弦的平衡位置。Balancepositionofstring根据力的平衡条件，满足微分方程（2）其边值条件为（4）其中为弦的张力。tension另一方面，由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置是在满足（4）的一切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为strain外力所做的功为work从而总位能为根据极小位能原理，是下列变分

2、问题的解：2.极小位能原理principleofminimumpotentialenergy变分Variation问题精确地叙述为：求使引进微分算子则于是例如，对于两点边值问题：（10.1）（10.2）其中，，，，。类似地，构造泛函利用分部积分integrationbyparts，并由（10.2），得到令（12）得到问题（10）的变分问题：求使。可以验证（12）定义的具有两个性质：bilinearform（1）对称性：symmetry（2）正定性：positivedefinite对任意令从而（14）变分原理：设，

3、是边值问题（10）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（10）的解。证明：注意当时，（16）如果是边值问题（10）的解，则，从而，对任意由（14），有这说明使达到极小值。反之，若使达到极小值，则由（14）及（16），得对任意（18）取，则，对任意根据变分法基本原理，满足方程，所以，（18）化为对任意注意，取，则，且，从而必须满足右边边值条件3.虚功原理principleofvirtualwork以乘以方程（10.1）的两端，再积分，得到（20）利用分部积分，得到代到（20），得到即（22）这是

4、方程（10）的变分形式。对，，由（16），得到假如是边值问题（10）的解，则对任意，满足（22）；反之，若对任意，满足（22），则可按前边变分原理的证明，推出是边值问题（10）的解。定理设是边值问题（10）的解的充要条件是：且满足变分方程。5.3二阶椭圆边值问题1.变分原理考虑Poisson方程的第一边值问题：（1）作泛函functional利用Green公式，我们得到若满足边值条件，则定义双线性形式则变分问题：求，使双线性形式具有如下性质：（1）对称性：symmetry（2）正定性：对有对，令易算出进一步，假设

5、，则若是问题（1）的解，则，对任意从而，对任意即使达到极小。总结成下面的极小位能原理。定理1设是边值问题（1）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（1）的解。2.虚功原理principleofvirtualwork考虑混合边值问题。在上满足在上满足以乘（1.1）两端multiplyby，得到（6）利用边值条件，得到定义双线性形式：则（6）可写成。定理2设是上述边值问题的解的充要条件是：且满足变分方程。对任意5.3Ritz-Galerkin方法思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。变分原理：求，使

6、（8）其中为某类内积空间。虚功原理：满足变分方程。对任意（9）这和Ritz法导出的方程组（14）一致，因此，习惯上称之为Ritz-Galerkin方法。Galerkin法还可进一步推广。在中取两个子空间和，其基底分别为及，在中求形如使其满足（16）即当时，就是Galerkin法。（16）成为广义Galerkin法，其中试探函数空间trialspace，称为检验函数空间Testspace。对于Ritz-Galerkin方程（14），其系数矩阵显然，矩阵对称symmetrical，且从而矩阵正定，Ritz-Galer

7、kin方程（14）惟一可解。定理3设是变分原理（7）或虚功原理（8）的解，是Ritz-Galerkin方程（14）的解，则有与与无关的常数，满足如果于完全，即的一切可能的线性组合于稠密，则进一步得到例利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：本问题有精确解：Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为另外一种基底选为为使满足边值条件，取将表成：，满足方程从而得到：，代到方程（14），得到Ritz-Galerkin方程：解得，故表1计算结果比较0.0440.0520.0440.0700

8、.0690.0690.0600.0520.0605.3二阶椭圆边值问题1.变分原理考虑Poisson方程的第一边值问题：（1）作泛函functional利用Green公式，我们得到若满足边值条件，则定义双线性形式则变分问题：求，使双线性形式具有如下性质：（1）对称性：symmetry（2）正定性：对有对，令易算出进一步，假设，则若是问题（1）的解，则，对任意从而，对任意即