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1、开放性问题在上海中考数学中的应用与思考2005年第44卷第12期数学通报45开放性问题在上海中考数学中的应用与思考王鼎(上海市教育考试院202235)1背景从20世纪60年代美国的"新数学"运动到70年代的"回归基础"运动,人们在探索数学教育的深层结构.这也促成了问题解决的提出和研究,开放性问题作为问题的一类也逐步得到了各国教育界的重视.近二十多年来,国内在数学解题教学中,为了走出数学解题教学的误区,不断有人提出用"问题"来补充,改造和影响考题,以便进一步改革中国的数学教育,希望中国的数学教育能够做到"以习题演练为基础,以问题解决为主导."原国家教委基础教育
2、课程教材研究中心召开的"数学课程内容改革研讨会"(1993年)也认为"问题解决是国际上盛行多年的教学方式,其问涉及的问题有的联系生活或生产实际,有些是解答不唯一的开放性试题.要求学生从给出的问题中经过分析,建立数学模型,再解决问题,这是提高学生修养,提高应用意识,培养协作精神的一个重要途径,值得在我国提倡."1971年,以岛田茂为首率先研究"开放式结尾(open—ended)问题"_】,1980年泽田利夫首次在我国介绍了日本同行的数学开放题的研究工作J,开始引起了我国数学教育界的关注.从1984年开始,我国戴再平首先在国内运用数学开放题进行测试,并在1993
3、年小范围内进行了教学实验,并在1996年"开放题——数学教学的新模式"立项为全国教学科学"九五"规划重点课题.分析已有的测试过程及论文报告,国内目前对数学开放性问题的研究主要集中在四个方面:1.数学开放题的涵义;2.数学开放题的类型l;3.数学开放题的教育价值lJl;4.数学开放题的编制_9j.虽然开始了对开放题的测试,但在全国范围而言,实验的代表性不高,开放题的效度研究很少.首要的原因是缺乏一个易于操作的评价标准,这也使得开放题的使用的合理性和有效性容易遭到质疑.然而由于思维的复杂性和不可控性,决定了开放性问题在界定,评价标准的制定和使用上有很大的困难,从
4、常规习题的编制,评价方法,使用可供借鉴的地方不多.2开放性问题在中考数学中使用现状目前上海中考数学试卷中开放题使用的情况当前数学教学中,存在忽视学生数学思维心理过程的问题,如忽视概念的形成过程,忽视学生对问题发现或提出的过程,忽视方法及策略的选取,反馈过程等.针对这些问题,上海中考数学试卷在试题命制中时刻关注并力求体现学生思维的多样性,引导数学教学注重学生学习过程.从1999年开始尝试在试卷中进入开放性问题,具体如下:沿DA边从点D开始向点以1厘米/秒的速度移动.如果P,p同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:(1)当t为何值时,△QAP为
5、等腰直角三角形?(2)求四边形Pc的面积,提出一个与计算结果有关的结论.(3)当t为何值时,以点p,A,P为顶点的三角形与z~ABC相似?评注本题是一道开放性的试题,尤其是第(2)小题,要求"提出一个与计算结果有关的结论"即可,这说明,结论只要"与计算结果有关"即可,不加具体限制,那么结论就不止一个了,比如,"在P,p两点移动的过程中,两点到对角线AC的距离值和保持不变",这一结论也是正确的.这种题目比以往"存在不存在","变化不变化"的问法,具有更强的开放性.数学通报2005年第44卷第12期(1999年)如果四边形ABCD满足条件:——,那么这个四边形的
6、对角线互相垂直(只需填写一组你认为适当的条件).(2000年)已知数3,6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是——(只需填写一个数).(2001年)如图1,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点4,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个AA】B】C】,使△A】1C】一△ABC(相似比不为1),且点41,曰1,c1都在单位正方形的顶点上./'—一.C曰图1(2002年)已知AD是AABC的角平分线,E,F分别是边AB,AC的中点,连结DE,DF.在不再连结其他线段的前提下,要使四边形AEDF成为菱形,还需添加一个条件
7、,这个条件可以是一.上述四题改编自教材及习题.2000年的试题考核比例中项,2001年的试题考核对相似三角形的判定,2002年的试题考核对菱形的判定.通过对单一知识点在理解或运用水平层次上的考核,体现学生的思维品质和数学能力,是上海这几年在中考数学中开放题的特点.以2000年的题为例,常规的习题中往往如下设问:已知数3,6,则它们的比例中项为——.考核知识点一样,但对思维的缜密性的要求,开放性问题明显高许多.又如2001年的这道试题,在教材中,仅仅要求学生证明正方形方格中的两个三角形相似.教材中的习题仅要求学生在知道三角形相似判定的条件和结论关系后,在方格中
8、寻找符合判定的条件,如对应边成比例等,即可得到相应的
