2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

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1、2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编03数列与数学归纳法三、解答题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得，（2）由（1）得，①②①-②得.，设，则由得随的增大而减小时，又恒成立，（3）由题意得恒成立记，则是随的增大而增大的最小值为，，即.2、(江苏省启东中学高三综合测试二)(1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（0.5，－0.5）对称；(2)求f(-2

2、)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;解：(1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，关于(0.5，－0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)∴－1-ｙ＝f（1－ｘ），即函数ｙ＝f（ｘ）的图象关于点（0.5，－0.5）对称.(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)=-1∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3下面用数学归纳法证明当n=1时，左＝3，右＝1，

3、3＞1不等式成立当n=2时，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立令n=k(k≥2）不等式成立即3ｋ＞ｋ2则ｎ＝ｋ＋1时，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2右＝（ｋ＋1）2＝ｋ2＋2ｋ＋1∵3ｋ2－（ｋ2＋2ｋ＋1）＝2ｋ2－2ｋ－1＝2（ｋ－0.5）2－1.5当ｋ≥2，ｋ∈N时，上式恒为正值则左＞右，即3ｋ＋1＞（ｋ＋1）2，所以对任何自然数n，总有3ｎ＞ｎ2成立，即对任何自然数n，总有bｎ＞ｎ2成立3、(江苏省启东中学高三综合测试三)数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an－3n(n∈N+)(1)若数列{an+c}成等比数列，

4、求常数c的值；(2)求数列{an}的公式an；(3)数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由。解：（1）an=3•2n－3　　　（2）数列{an}中不存在可以构成等差数列的三项答案：4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a1=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．解：（Ⅰ）∵(x≥4)，∴(x≥0)，∴，即（N*）．∴数列是以为首项，公差为2的等差数列

5、．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即（N*）．b1=1，当n≥2时，，∴因而，N*．，∴令①则②①-②，得∴．又．∴．5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)设数列的前项和为，且，其中；（１）证明：数列是等比数列。（２）设数列的公比，数列满足，（　　　求数列的通项公式；（３）记，记，求数列的前项和为；解：（1）由，相减得：，∴，∴数列是等比数列（2），∴，∴是首项为，公差为1的等差数列；∴∴（3）时，，∴，∴，①②②-①得：，∴，所以：6、(江西省五校2008届高三开学联考)设数列（I）求数列{bn}的通项公式；（II）若存在实数t

6、，使得数列成等差数列，记数列的前n项和为Tn.证明：解：（I）由已知得，………………………………2分，，上述两式错位相减得：，………………………………………5分……………………………………………………6分（II），∴当且仅当t=0时，数列成等差数列，此时…………9分错位相减得：……………………………………………………10分，7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)是否存在常数a,b,c，使等式对一切正整数都成立？证明你的结论。解：,，证明：略8、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设正数数列的前n次之和为满足=①求，②

7、猜测数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明③设，数列的前n项和为,求的值。解：①②猜测证明略③9、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)已知二次函数的图象过点且（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证：①；②．解：（1）由，∴………2分解之得，即；………4分（2）由，∴由累加得∴；………7分（3）①（）当时，…．10分②，，所以不等式成立10、(四川省成都市一诊)已知递增数列满足：，，且、、成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足：，。①用数学归纳法证明

8、：；②记，证明：。解：（I），∴数列为等差数列，设公差为。、、成等比数列，∴……..4分（II）①即证用数学归纳法证明如下：（1）当时，，原不等式成立；（2）假设时原不等式成立，即那么当时，∴当时原不等式也成立由（1）（2）可知…......4分②证明：由，而，∴∴，，，，，