华师数学八年平方根讲义

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1、51三、平方根在本章中，我們將介紹平方根及學習平方根的四則運算與根式中分母的有理化，並介紹雙重根式的化簡。3-1認識平方根對於一個正數a，如果b的平方等於a，即，我們就稱b是a的平方根又稱二次方根。例如：3的平方等於9，所以稱3是9的平方根。另外，因為(3)29，所以3也是9的平方根。由此，我們知道9的平方根有3和3。在國中階段，我們引進符號「」，讀作「二次根號」，或簡讀作「根號」，來表示一個正數的平方根：對於任何一個正數a，(讀作根號a)表示a的正平方根；(讀作負根號a)表示a的負平方根。例如：4的平方根記作，即2及2。也就

2、是說，由平方根的定義，、。當a=0時，a的兩個平方根都為0。此外，在中，我們稱a為被開方數。例如：的被開方數為1，而＝1；的被開方數為9，而3。在本章中，除了在雙重根式的情形外，我們所討論的被開方數均為非負的有理數。【平方根的近似值】如果a不是某一個整數的平方時，如何求出它的平方根所表示的值呢？例如2不是某一個整數的平方，那麼，如何求出的值呢？我們先由下列三個面積分別為1、2和4平方公分的正方形來說明：1241251我們可看出這三個正方形依其面積的大小，由小至大依序排列，因此，它們的邊長的大小順序也應相同。因為這三個正方形的邊

3、長分別為1公分、公分和2公分，所以，的值應介於1和2之間，即12。若想進一步知道的值為何，我們可以將1和2之間作十等分，依序可得1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8和1.9，並分別計算其平方：我們可看出，所以介於1.4和1.5之間，即。若再將1.4和1.5之間作十等分得1.41，1.42，1.43，1.44，1.45，1.46，1.47，1.48和1.49等九個二位小數，那麼，又介於哪兩個小數之間呢？事實上，由可看出，因此介於1.41和1.42之間，即1.411.42。依照上面的方法繼續做下去，我們知

4、道1.4141.415，…，進而算出1.41421351.4142136。如果我們想用四捨五入法取的近似值51到小數第二位，那麼就依上面的方法算到小數第三位，然後再用四捨五入法取捨即可。也就是說，因為1.4141.415，所以取到小數第二位時，的近似值為1.41，記作≒1.41（讀作根號2約等於一點四一）。事實上，依這樣的步驟且取越多的小數位數時，我們所算出的近似值越接近的值。1.411.421.41.5021121.41.5在上面求的近似值的過程中，我們也可以用數線來說明。我們首先算出介於兩個連續整數之間，即12，或者說，在

5、數線上，的位置在1和2之間；接下來把1和2之間分成十等分，然後得出在1.4和1.5之間；再把1.4和1.5之間分成十等分，並得出介於1.41和1.42之間，…。事實上，我們可將這樣逼近的過程看成是在數線上，利用「十等分」的方法逐漸接近的位置，因此稱這樣的方法為十分逼近法。【範例1】以十分逼近法求的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。【解】由和，可得3，因此12。將1和2之間作十等分並計算，，…，的值如下：因此，1.7511.8。依題意，我們再將1.7和1.8之間作十等分，並計算、、…的值如下：，，，，所以，1.731.74。

6、因此，依題意取到小數第一位時，≒1.7。在範例1求的過程中，當已知介於1和2之間後，我們可先比較和3的大小。因為2.253，所以介於1.5和2之間。因此只須取、、…、的值來做比較即可。有時候，這樣的方式可省去一些不必要的計算。【類題練習1】試以十分逼近法求的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。事實上，除了利用十分逼近法之外，我們也可以用開方表或計算器來求得正數的平方根較準確的近似值。我們再來看畢氏定理（又稱商高定理）和平方根的關係。由畢氏定理，我們知道：任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。也就是說，若直角三

7、角形的兩股長分別為a、b，斜邊長為c，那麼，或。【範例2】在方格紙上，利用直角三角形，畫出一條長為單位的線段。ABC21【解】因為，所以，兩股長分別為1、2的直角三角形，它的斜邊長即為。因此我們只需在方格紙上畫出兩股長分別為1和2個單位長的直角三角形，如右圖，那麼其斜邊即為51個單位長的線段。【類題練習2】在方格紙內，利用直角三角形畫出長度分別為和個單位長的線段。【想想看】給定一個正整數n，如何利用尺規作圖畫出一條個單位長的線段？(提示：，，，…)【範例3】(1)已知某直角三角形中，兩股長分別為5和12，求斜邊長。(2)已知直

8、角三角形的一股長為4，斜邊長為7，求另一股長。【解】(1)由，設，，所以斜邊長。(2)設一股長a為4，斜邊長c為7，由，可得另一股長。【類題練習3】(1)已知某直角三角形中，兩股分別為2和5，求斜邊長。(2)已知直角三角形的一股長為5，斜邊長為8，求另一股長。51【重點整理】