用“代入法”巧解一类对称问题

用“代入法”巧解一类对称问题

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1、论文:用“代入法”巧解一类对称问题山东省临朐第二中学卢国利邮编262605邮箱sdlqlgl@163.com地址山东省临朐县冶源镇竹泉路10号4先看两个例题:例1(2009年海南、宁夏高考数学试题第5题)已知圆C:,圆C与圆C:关于直线对称,则圆的方程为()(A)(B)(C)(D)多数参考用书和复习资料给出的解法如下:解法一:圆C:的圆心为C(-1,1),设圆C的圆心为C(a,b),由题意知C与C关于直线对称解得又圆C的半径为1,所以圆C的方程为,故选(B)用下面方法解更简捷解法二:由直线得,将此式代入圆C:可得即便是圆C的

2、方程。例2圆关于直线对称的圆的方程为()(A)(B)(C)(D)解法一:将圆化为标准式,其圆心为(-2,2)。设对称的圆的圆心坐标为(a,b),由题意知两圆心关于直线对称,所以有解得,又圆的半径为2,故对称的圆的方程为,故选(A)解法二:由直线得,将此式代入可得整理得即为所求圆的方程。解法一抓住“对称”,着眼“中”“垂”。利用“中”即对称点连线的中点在关于对称的直线上;“垂”4即对称点连线所在直线与关于对称的直线相互垂直,列出两个关系式求解,称之为中垂法,它是解决该类题的一般方法。解法二将关于对称的直线方程整理后直接代入圆的

3、方程,化简后即的对称的圆的方程,称之为代入法。比较两解法,显然代入法思维运算量少,步骤更简捷,易于掌握。但是,这种解法是否具有一般性?如果将圆的方程推广到任意圆,直线的方程推广到斜率为1的任意直线,该方法是否成立?求圆关于直线的对称的圆的方程。中垂法:圆的圆心为(a,b),设对称的圆的圆心为),由题意知两圆心关于直线对称解得,又因为圆的半径为r,对称圆的方程为代入法:由直线得,代入圆的方程,整理得对称圆的方程为。两种解法解题过程合理,结果相同。由此知代入法对求“任意圆关于斜率为1的直线的对称的圆的方程”问题均适用。同理可证明

4、,若将题目中的直线换为“斜率为-1”的直线,其它不变,该解法仍成立。下面举例说明:例3求圆关于直线的对称的圆的方程。代入法:由直线得,代入圆的方程得,故对称的圆的方程为。综上所述,对于求“任意圆关于斜率为1的直线的对称的圆的方程”问题均可用代入法解决。如果将圆的方程换成其它曲线方程,结果会怎样?例4求椭圆关于直线的对称椭圆方程。中垂法:设所求椭圆上任意一点为P(x,y),由题意知P点关于直线的对称点Q在椭圆上,即有①所以解得②4将②代入①即得所求椭圆方程为代入法:由直线得代入椭圆,即得对称椭圆方程为。两解法结果仍相同。实际上

5、,凡是求“任意曲线关于斜率为1的直线的对称曲线的方程”问题,均可用代入法解决。证明如下:求曲线关于直线的对称的曲线方程。中垂法:设要求曲线上任意一点为P(x,y),由题意知,P点关于直线的对称点Q在上,即①.由对称性知:解得:②将②代入①整理得对称曲线方程为。代入法:由直线得,代入,整理即得对称曲线的方程为。同理,当直线方程为时,易证明代入法成立。结论:求“任意曲线关于直线(m为常数)的对称曲线方程”问题均可用代入法解决。两点说明:①这里的曲线可包括任意直线;②直线仅限于斜率为的直线,不能为其它。4

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