用“代入法”巧解一类对称问题

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1、论文：用“代入法”巧解一类对称问题山东省临朐第二中学卢国利邮编262605邮箱sdlqlgl@163.com地址山东省临朐县冶源镇竹泉路10号4先看两个例题：例1（2009年海南、宁夏高考数学试题第5题）已知圆C：，圆C与圆C:关于直线对称，则圆的方程为（）（A）（B）（C）（D）多数参考用书和复习资料给出的解法如下：解法一：圆C:的圆心为C（-1，1），设圆C的圆心为C（a,b）,由题意知C与C关于直线对称解得又圆C的半径为1，所以圆C的方程为，故选（B）用下面方法解更简捷解法二：由直线得，将此式代入圆C:可得即便是圆C的方程。例2圆关于直线对称的圆的方程为（）（A）

2、（B）（C）（D）解法一：将圆化为标准式，其圆心为（-2，2）。设对称的圆的圆心坐标为（a，b）,由题意知两圆心关于直线对称，所以有解得，又圆的半径为2，故对称的圆的方程为，故选（A）解法二：由直线得，将此式代入可得整理得即为所求圆的方程。解法一抓住“对称”，着眼“中”“垂”。利用“中”即对称点连线的中点在关于对称的直线上；“垂”4即对称点连线所在直线与关于对称的直线相互垂直，列出两个关系式求解，称之为中垂法，它是解决该类题的一般方法。解法二将关于对称的直线方程整理后直接代入圆的方程，化简后即的对称的圆的方程，称之为代入法。比较两解法，显然代入法思维运算量少，步骤更简捷

3、，易于掌握。但是，这种解法是否具有一般性？如果将圆的方程推广到任意圆，直线的方程推广到斜率为1的任意直线，该方法是否成立？求圆关于直线的对称的圆的方程。中垂法：圆的圆心为（a，b），设对称的圆的圆心为）,由题意知两圆心关于直线对称解得，又因为圆的半径为r，对称圆的方程为代入法：由直线得，代入圆的方程，整理得对称圆的方程为。两种解法解题过程合理，结果相同。由此知代入法对求“任意圆关于斜率为1的直线的对称的圆的方程”问题均适用。同理可证明，若将题目中的直线换为“斜率为-1”的直线，其它不变，该解法仍成立。下面举例说明：例3求圆关于直线的对称的圆的方程。代入法：由直线得,代入

4、圆的方程得，故对称的圆的方程为。综上所述，对于求“任意圆关于斜率为1的直线的对称的圆的方程”问题均可用代入法解决。如果将圆的方程换成其它曲线方程，结果会怎样？例4求椭圆关于直线的对称椭圆方程。中垂法：设所求椭圆上任意一点为P（x,y），由题意知P点关于直线的对称点Q在椭圆上，即有①所以解得②4将②代入①即得所求椭圆方程为代入法：由直线得代入椭圆，即得对称椭圆方程为。两解法结果仍相同。实际上，凡是求“任意曲线关于斜率为1的直线的对称曲线的方程”问题，均可用代入法解决。证明如下：求曲线关于直线的对称的曲线方程。中垂法：设要求曲线上任意一点为P（x，y），由题意知，P点关于直

5、线的对称点Q在上,即①.由对称性知:解得:②将②代入①整理得对称曲线方程为。代入法：由直线得，代入，整理即得对称曲线的方程为。同理，当直线方程为时，易证明代入法成立。结论：求“任意曲线关于直线（m为常数）的对称曲线方程”问题均可用代入法解决。两点说明：①这里的曲线可包括任意直线；②直线仅限于斜率为的直线，不能为其它。4