考研_线性代数_笔记精华_3打印

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1、一章行列式一、重点1、理解:行列式的定义,余子式,代数余子式。2、掌握:行列式的基本性质及推论。3、运用:运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。三、重要公式1、若A为n阶方阵,则│kA│=kn│A│2、若A、B均为n阶方阵,则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵,则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵,则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,│A│=∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列

2、式的计算(方法)1)利用定义2)按某行(列)展开使行列式降阶3)利用行列式的性质①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。③逐次行(列)相加减,化简行列式。④把行列式拆成几个行列式的和差。4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式5)数学归纳法,多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D=│A│≠0,则Ax=b有唯一解,即x1=D1/D,x2=D2/D,…,xn=Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。注意:克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程

3、组。4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1)当│A│=0时,齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解,也可能有无穷多解)2)当│A│≠0时,齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解,此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解:矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)2、掌握:1)矩阵的各种运算及运算规律2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3)矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难

4、点解析1、线性运算1)交换律一般不成立,即AB≠BA2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。3)由AB=0不能得出A=0或B=04)由AB=AC不能得出B=C5)由A2=A不能得出A=I或A=06)由A2=0不能得出A=07)数乘矩阵与数乘行列式的区别2、逆矩阵1)(A–1)–1=A2)(kA)–1=(1/k)A–1,(k≠0)3)(AB)–1=B–1A–14

5、)(A–1)T=(AT)–15)│A–1│=│A│–13、矩阵转置1)(AT)T=A2)(kA)T=kAT,(k为任意实数)3)(AB)T=BTAT4)(A+B)T=AT+BT4、伴随矩阵1)A*A=AA*=│A│I(AB)*=B*A*2)(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1,(n≥2)3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*4)若r(A)=n,则r(A*)=n若r(A)=n-1,则r(A*)=1若r(A)5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-15、初等变换(三种)1)对调二行(列)2)用k(k≠0

6、)乘以某行(列)中所有元素3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素注意:用初等变换①求秩,行、列变换可混用②求逆阵,只能用行或列变换③求线性方程组的解,只能用行变换6、初等矩阵1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)7、矩阵方程1)含有未知矩阵的等式2)矩阵方程有解的充要条件AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示<==>r(A)=r(A┆B)

7、四、题型及解题思路1、有关矩阵的概念及性质的命题2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)3、矩阵可逆的判定n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=BA=I<==>│A│≠0<==>r(A)=n<==>A的列(行)向量组线性无关<==>Ax=0只有零解<==>任意b,使得Ax=b总有唯一解<==>A的特征值全不为零4、矩阵求逆1)定义法:找出B使AB=I或BA=I2)伴随阵法:A-1=(1/│A│)A*注意:用该方法求逆时,行的代数余子式应竖着写在A*中,计算Aij时不要遗漏(-1)i+j,当n>3时,通常用初等变换法。3

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