考研_线性代数_笔记精华_3打印

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1、一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。2、掌握：行列式的基本性质及推论。3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│=kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）

2、利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。③逐次行（列）相加减，化简行列式。④把行列式拆成几个行列式的和差。4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D=│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。4、运用系数行列式│A│判别方程组解

3、的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些

4、代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。3）由AB=0不能得出A=0或B=04）由AB=AC不能得出B=C5）由A2=A不能得出A=I或A=06）由A2=0不能得出A=07）数乘矩阵与数乘行列式的区别2、逆矩阵1）(A–1)–1＝A2）(kA)–1=(1/k)A–1，（k≠0）3）(AB)–1=B–1A–14）(A–1)T=(AT)–15）│A–1│=│A│–13、矩阵转置1）(AT)T

5、＝A2）(kA)T=kAT，（k为任意实数）3）(AB)T=BTAT4）(A+B)T=AT+BT4、伴随矩阵1）A*A＝AA*=│A│I(AB)*=B*A*2）(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1,(n≥2)3）(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*4）若r(A)=n，则r(A*)=n若r(A)=n-1，则r(A*)=1若r(A)5）若A可逆，则(A*)-1=(1/│A│)A，(A*)-1＝(A-1)*，A*＝│A│A-15、初等变换（三种）1）对调二行（列）2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素注意：用初等变换①求

6、秩，行、列变换可混用②求逆阵，只能用行或列变换③求线性方程组的解，只能用行变换6、初等矩阵1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k)7、矩阵方程1）含有未知矩阵的等式2）矩阵方程有解的充要条件AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示<==>r(A)=r(A┆B)四、题型及解题思路1、有关矩阵的概念及性质的命题2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）3、矩阵可逆的判定n阶方阵A可逆

7、<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I<==>│A│≠0<==>r(A)=n<==>A的列（行）向量组线性无关<==>Ax=0只有零解<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解<==>A的特征值全不为零4、矩阵求逆1）定义法：找出B使AB=I或BA=I2）伴随阵法：A-1=(1/│A│)A*注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。3