高三数学专题复习《数形结合》

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1、高三数学专题复习《数形结合》重庆二十九中李勇掌握数学思想方法，逐步强化对理性思维能力的培养，是数学学习和高考复习最重要的任务。用数形结合思想解题既能避免繁杂的计算与推理，又能通过图形直观地考证结论是否完整。因此在历年高考试题的解答中充分体现了数形结合思想的广泛应用。借助数形结合的思想，寻求解答思路及方法是高考热点之一.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几

2、何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义,函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。典型例题一:实数与数轴上的点的对应关系例1(重庆2004(7)题)一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（选C）A．B．C．D．分析：其图象与x轴的交点的横坐标是方程f(x)=0的解,由y=f(x)的图象可知,要使两根一正、一负，只需a>0,f(0)<0例1同时成立或a<0,f(0)>0同时成立解得a<0,这是充要条件选C例2

3、（2002年全国理）函数y=＋bx＋c,x∈[0,＋∞)是单调函数的充要条件是（）　　A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<0（选A）分析：根据函数y=＋bx＋c的图象只需顶点的横坐标,解得b≥0二、函数与图象的对应关系例3（2004年全国）．不等式的解集是（A）A．B．C．D．分析：转化为，即，令4只需求出y>3时U的取值范围,就可以求出x的取值范围,解得02解得02,选A例4设函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（C）A.（）B.（-1，）C.[0，）D.（-1，

4、0）分析：关键直接作出函数图象而不求函数解析式,从而提高解题速度.第一步是正确作出函数的图象与函数的图象如图(1)第二步是正确作出函数y=如图(2)三、曲线与方程的对应关系例5.A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数,画出两个函数的图象,易知两图象只有两个交点,故方程有两个实根,选(B).例5例5例6解不等式分析：令=t则原不等式变形为>t-3设y=,y=t-3转化为比较y与y大小的问题正确作出函数y=,y=t-3的图象例6令y=y,得t=5因为函数y=,y=t-3

5、都是增函数4所以不等式>t-3的解为：1≤t<5即1≤<5(数形结合思想)当a>1时a≤x

6、坐标原点O逆时针旋转得到，则f(x)＝()分析：可设B(x,y)为函数y＝f(x)的图象上任意一点,绕坐标原点O顺时针旋转得到点A(y,-x),则点A必然在函数y＝lg(x＋1)的图象上,代入y＝lg(x＋1)得:-x＝lg(y＋1),化简整理得:即为所求数解析式。例9.点M是椭圆上的一点，它到其中一个焦点的距离为2，N为M的中点，O表示原点，则

7、ON

8、=（）分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如下图）4又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，五、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义

9、分析：，有明显的几何意义，它表示复数z对应的Z在以（2，2）为圆心，半径为的圆上（如图），而表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然当点Z、圆心C、点O三点共线时，取得最值，例11.如果实数x，y满足的最大值为（）分析：等式有明显的几何意义，她表示平面上的一个圆，圆心为（2，0），半径r=（如图），而则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。该问题可转化为下面的几何问题：动点P在以（2，0）为圆心，半径r=的圆上运动，求直线OP的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，OP的斜率最大，为函

10、数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。高考主要考查学生“画图、识图、用图”的能力，考查形式有三种：一是直接考查运用所学各种基本初等函数的图像及图像变换的能力；二是考查从图像中获取信息（如奇偶性、单调性、周期性、对称性以及特殊点的位置、渐近线等）的能力；三是借助数形结合的思想，寻求解答思路及方法。4